Dejemos que $X$ sea un espacio completamente regular. Una subálgebra $\mathcal{A}$ de $BC(X)$ se llama completamente regular si (i) es cerrado y contiene las funciones constantes, y (ii) $\mathcal{A}\cap C(X,[0,1])$ separa puntos y conjuntos cerrados (una familia $\mathcal{F}\subset C(X,[0,1])$ se dice que separa puntos y conjuntos cerrados si para cualquier conjunto cerrado $E\subset X$ y $x\in E^{c}$ existe $f\in\mathcal{F}$ tal que $f(x)\notin\overline{f(E)}$ ).
(a) Si $(Y,e)$ es una compactación de $X$ , demuestran que $\mathcal{A}_{Y}:=\{f\circ e:f\in C(Y)\}$ es una subálgebra completamente regular de $BC(X)$ .
(b) Si $(Y,e)$ es la compactación de $X$ asociado a $\mathcal{F}\subset C(X,[0,1])$ , demuestran que $\mathcal{A}_{Y}$ es la subálgebra cerrada más pequeña de $BC(X)$ que contiene $\mathcal{F}$ .
Dato relacionado: Si $B$ es un conjunto no vacío y $X=[0,1]^{B}$ entonces el álgebra generada por los mapas de coordenadas $\pi_{\beta}:X\rightarrow[0,1]$ ( $\beta\in B$ ) y la función constante 1 es densa en $C(X)$ .
Para (a), es fácil ver que $\mathcal{A}_{Y}$ contiene las funciones constantes. No estoy seguro de las otras propiedades. Parece que tengo que utilizar la densidad de $e(X)$ en $Y$ .
Para (b), dejo que $\mathcal{A}$ sea una subálgebra cerrada de $BC(X)$ que contiene $\mathcal{F}$ . Entonces $\pi_{f}\circ e=f\in\mathcal{A}$ para todos $f\in\mathcal{F}$ . Utilizando el hecho indicado anteriormente, el álgebra $\mathcal{A}'$ generado por $\{\pi_{f}\circ e:f\in\mathcal{F}\}$ y la función constante 1 es densa en $C(X,[0,1])$ . No estoy seguro de lo siguiente: Dije $\mathcal{A}'\subset\mathcal{A}$ así que $\overline{A'}\subset\mathcal{A}$ desde $\mathcal{A}$ es cerrado y se deduce que $\mathcal{A}_{Y}\subset\mathcal{A}$ desde $\mathcal{A}'$ es denso en $C(X,[0,1])$ .
