Acabo de echar un vistazo a las respuestas y creo que se está pasando por alto sistemáticamente un punto.
El teorema de Noether es un definición de la cantidad conservada asociada a una simetría, más una prueba de que las ecuaciones del movimiento implican efectivamente la conservación de dicha cantidad bajo la evolución del tiempo. (Esto es conceptualmente similar a cómo la primera ley del movimiento de Newton es una definición de los marcos inerciales).
El PO escribe
*Independencia del tiempo ↔ conservación de la energía
que debe entenderse como
*Independientemente del tiempo ↔ existe una cantidad conservada E, que hemos convenido en llamar "energía".
La aproximación al teorema mediante el "truco de Noether" (realmente relevante para los cálculos) también parece estar ausente. Para completar, lo ilustraré para $$ S=\int dt\; \tfrac{1}{2} \dot q(t)^2. $$ Digamos que quieres la cantidad conservada asociada a las traslaciones del tiempo $q(t)\to q(t+\varepsilon \Delta t)$ pour $\varepsilon \in[0,1)$ y $\Delta t$ un intervalo de tiempo arbitrario (siendo absolutamente preciso aquí). Dado que $$ \exp(\varepsilon \Delta t\;\partial/\partial t) q(t)=q(t+\varepsilon (\Delta t)) $$ entendemos que el generador infinitesimal es el operador $$ \delta_\varepsilon=\varepsilon \Delta t\frac{\partial}{\partial t} $$ (Esto es esencialmente el teorema de Taylor.) Esta es una variación, por lo que $$ \label{blah} \delta_\varepsilon S=\int dt\; \dot{q}\delta_\varepsilon \dot q= \int dt\;\dot q \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon \Delta t \dot q)\,, \quad (\star) $$ Esto es obviamente la integral de un total $\partial/\partial t$ derivada, por lo que $\delta_\varepsilon S=0$ .
El truco de Noether consiste en calcular $(\star)$ con la sustitución $$\varepsilon\to\varepsilon(t)$$ (satisfaciendo las condiciones de contorno correctas, etc.). Me parece que $$\delta_{\varepsilon(t)} S=\int dt\;\dot q \frac{\partial}{\partial t}(\varepsilon \Delta t \dot q) =-\Delta t\int dt\; \ddot q \dot q \varepsilon=-\Delta t\int dt\;\frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big) \varepsilon. $$ Desde $\delta_{\varepsilon(t)} q$ preserva las condiciones de contorno, $\delta_{\varepsilon(t)} S$ debe desaparecer siempre que se cumplan las ecuaciones del movimiento. Por lo tanto, $$ \frac{\partial}{\partial t}\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big)=0 $$ cuando se cumplen las ecuaciones del movimiento.
Leemos la cantidad conservada "energía cinética" $$ T=\Big(\frac{\dot q^2}{2}\Big). $$
El papel de la independencia del tiempo es arreglar que después de eliminar todos los derivados de $\varepsilon$ mediante integración por partes, su coeficiente se convierte en una derivada temporal total.
Ver Townsend (de quien aprendí esto) para más detalles.
