Bueno, no conozco ninguna explicación intuitiva aparte de la intuición obtenida por la comprensión de las matemáticas subyacentes (principalmente geometría diferencial, mecánica hamiltoniana y teoría de grupos). Así que con el riesgo de no darte exactamente lo que quieres, intentaré enfocar el problema matemáticamente.
Si se conoce la mecánica hamiltoniana, el enunciado del teorema es sumamente sencillo. Supongamos que tenemos un hamiltoniano $H$ . A esto se asocia un flujo hamiltoniano único (es decir, una familia de simplectomorfismos de un solo parámetro, que no es más que un nombre elegante para los difeomorfismos que preservan la estructura simpléctica) $\Phi_H(t)$ en el colector. Desde el punto de vista de la teoría de Lie, el flujo es una acción de grupo y existe su generador (que es un campo vectorial) $V_H$ (también puede obtenerse en $\omega(\cdot, V_H) = dH$ con $\omega$ siendo la forma simpléctica). Ahora, se puede escribir completamente lo mismo para alguna otra función $A$ , con generador $V_A$ y el flujo $\Phi_A(s)$ . Piensa en esto $A$ como alguna cantidad conservada y de $\Phi_A(s)$ como una familia continua de simetrías.
Ahora, partiendo de la ecuación hamiltoniana ${{\rm d} A \over {\rm d} t} = \left\{A,H\right\}$ vemos que si $A$ Conmutaciones de Poisson con $H$ se conserva. Ahora bien, este no es el final de la historia. Del segundo párrafo debería quedar claro que $A$ y $H$ no difieren mucho. En realidad, ¿y si los intercambiamos? Entonces tendríamos ${{\rm d} H \over {\rm d} s} = \left\{H,A\right\}$ . Así que vemos que $A$ es constante a lo largo del flujo hamiltoniano (es decir, se conserva) si y sólo si $H$ es constante a lo largo del flujo de simetría (es decir, las leyes físicas son simétricas).
Hasta aquí la razón por la que la cosa funciona. Ahora, ¿cómo pasamos de las simetrías a las cantidades conservadas? En realidad no es nada difícil, pero requiere algunos conocimientos de geometría diferencial. Empecemos con el ejemplo más sencillo.
Traducción
Se trata de una simetría tal que $x \to x^\prime = x + a$ . Puedes imaginar que movemos nuestras coordenadas a lo largo del $x$ dirección. Con $a$ siendo un parámetro, se trata de un flujo de simetría. Si diferenciamos con respecto a este parámetro, obtendremos un campo vectorial. Aquí será $\partial_x$ (es decir, un campo vectorial constante que apunta en la dirección $x$ ). Ahora, ¿a qué función sobre la variedad simpléctica corresponde? Fácil, debe ser $p$ porque diferenciando esto obtendremos un campo de 1 forma constante $dp$ y luego tenemos que usar $\omega$ para obtener un campo vectorial $\partial_x$ .
Otra forma de ver que debe ser $p$ : supongamos que tienes una ola $\exp(ipx)$ . Entonces $\partial_x \exp(ipx) = ip \exp(ipx)$ por lo que el momento y las derivadas parciales son moralmente la misma cosa. Aquí, por supuesto, estamos explotando la similitud entre la transformada de Fourier (que conecta $x$ y $p$ imágenes) y la estructura simpléctica (que combina $x$ y $p$ ).
Rotación
Ahora pasemos a algo un poco más difícil. Supongamos que tenemos un flujo $$\pmatrix{x \cr y} \to \pmatrix{x' \cr y'}= \pmatrix{\cos(\phi) & \sin(\phi) \cr - \sin(\phi) & \cos(\phi)} \pmatrix {x \cr y} $$ Se trata, por supuesto, de un flujo rotativo. Aquí obtendremos un campo $y {\rm d}x - x {\rm d} y$ y la cantidad conservada de la forma $y p_x - x p_y$ que en tres dimensiones puede considerarse como un tercer componente del momento angular $L_z$ .
Nótese que lo anterior se ha hecho principalmente con fines ilustrativos ya que podríamos haber trabajado en coordenadas polares y entonces sería en realidad el mismo problema que el primero porque obtendríamos el campo $\partial_{\phi}$ y la cantidad conservada $p_{\phi}$ (que es momento angular).
