¿Existe una base para el espacio de las matrices de densidad?

Question

Dejemos que $H_A$ sea un espacio de Hilbert de dimensión finita. Considero las matrices de este espacio, así el espacio $\mathcal{L}(H_A)$ .

Me gustaría saber (creo que lo he leído en algún sitio pero no estoy seguro) si existe una base de este espacio compuesta por matrices de densidad?

Recuerdo que las matrices de densidad son operadores herméticos, semidefinidos positivos, de traza $1$ .

Creo que puedo demostrar que cualquier matriz en $\mathcal{L}(H_A)$ puede escribirse como una suma de matrices de densidad haciendo lo siguiente

En primer lugar, cualquier hermético $H$ es una suma de matrices de densidad. En efecto, considerando $|\psi_i \rangle$ una base ortonormal en la que $H$ es diagonal, tenemos, con $\lambda_i \in \mathbb{R}$ :

$$H=\sum_i \lambda_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |$$

Entonces, cualquier matriz $A$ se puede escribir como:

$$A=H_1+i H_2$$

Donde $H_1$ y $H_2$ son herméticos.

Entonces, $A$ puede escribirse como una suma de matrices de densidad, siendo los coeficientes reales o puramente imaginarios.

Ahora, cómo demostrar que existe una base de matrices de densidad en la que cualquier operador $A$ ¿se puede descomponer? Si hay un ejemplo sencillo de tal base me gustaría verlo también (descompuesto en la base canónica $|i\rangle \langle j|$ ).

Lo que me confunde un poco y que he olvidado de los fundamentos del álgebra lineal es que veo que cualquier $A$ puede escribirse como suma de matrices de densidad. ¿Implica esto necesariamente que hay una base de matrices de densidad o no necesariamente?

Answer 1

Aquí hay un conjunto explícito de matrices de densidad que forman una base. Tome la colección de todas las matrices de las siguientes formas:

• $\left|j\rangle \langle j\right|$
• $\frac{1}{2}\left(\left|j\rangle+\left|k\rangle\right) \left( \langle j\right| + \langle k\right|\right)$
• $\frac{1}{2}\left(\left|j\rangle+i\left|k\rangle\right) \left( \langle j\right| - i\langle k\right|\right)$

Donde $j, k$ se extienden sobre un conjunto fijo de bases ortonormales para $H_A$ con $j< k$ y donde $i$ es la unidad imaginaria. Estas son claramente simétricas con traza unitaria, y son semidefinidas positivas porque son todas de la forma $\left|v\rangle \langle v\right|$ para algunos $v$ . Para ver que forman una base para el conjunto de operadores sobre $H_A$ , observe que hay el número correcto de ellos ( $n^2$ , donde $n$ es la dimensión de $H_A$ ), así que si podemos demostrar que abarcan el espacio de las matrices, entonces hemos terminado.

Las matrices diagonales se obtienen claramente utilizando sólo el primer tipo de matrices $\left|j\rangle \langle j\right|$ . Del mismo modo, una matriz no diagonal $\left|j\rangle \langle k\right|$ puede escribirse como $$\frac{1}{2}\left(\left|j\rangle+\left|k\rangle\right) \left( \langle j\right| + \langle k\right|\right) + \frac{i}{2}\left(\left|j\rangle+i\left|k\rangle\right) \left( \langle j\right| - i\langle k\right|\right) - \left|j\rangle \langle j\right| - \left|k\rangle \langle k\right|$$ , mostrando que el conjunto de matrices anterior abarca el espacio.

En general, cada vez que se tiene un subconjunto $S$ de un espacio vectorial $V$ cuyo ámbito contiene todo el espacio, se puede elegir una base de dicho subconjunto $S$ . La prueba procede por inducción. Elija un elemento $b\in S$ del subconjunto para ser el primer elemento de base candidato. Entonces, dada cualquier colección de elementos de base candidatos $b_1, \dots, b_k$ si el número de ellas no es igual a la dimensión $n=\dim(V)$ del espacio vectorial, debe haber alguna $x\in S$ que es linealmente independiente de $b_1,\dots,b_k$ porque si no, el lapso de $S$ tendría una dimensión estrictamente inferior a la de $V$ ¡! Así que podemos seguir añadiendo elementos a nuestro conjunto de bases candidatas $b_1,\dots,b_k$ hasta que consigamos $n$ elementos linealmente independientes, que son necesariamente una base para $V$ .