Infinitos $ n \in \mathbb{N} $ tal que $ n^2+1 $ tiene dos divisores $ a,b $ tal que $a-b=n $

Question

Demostrar que hay infinitas $ n \in \mathbb{N} $ tal que $ n^2+1 $ tiene dos divisores $ a,b $ tal que $a-b=n $ .

Es obvio que si $ p\mid n^2+1 $ entonces $\gcd(p,n)=1$ . He intentado utilizar el teorema del resto chino, pero no he conseguido nada. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Funciona para $b,a$ términos consecutivos en la secuencia $x_j$ Inicio $$ 1, 2, 5, 13, 34, ..$$ con $$ x_{j+2} = 3 x_{j+1} - x_j $$ que son (cada segundo) números de Fibonacci.

Aunque el problema no lo requiere, el producto es precisamente el número dado $n^2 + 1.$ De ahí la insinuación de que $a^2 - 3ab + b^2 = -1$ realmente terminó el asunto.