¿Por qué los valores propios marginales del jacobiano de una órbita periódica están relacionados con la simetría?

Question

En ChaosBook En la página 61 de la versión inestable del libro, se afirma que

$$J_p (x) \mu (x) = \mu (x,)$$ es decir, el vector velocidad es un vector propio del jacobiano a lo largo de la órbita periódica $p$ con valor propio 1.

Además, en el $3$ rd semanas de videoconferencias con título Tipos de multiplicadores Floquet El Dr. Cvitanovic afirma que

Tiene que haber una buena razón para que $J$ - La matriz jacobiana a lo largo de la órbita periódica - tiene valor propio uno; hay dos posibilidades: Una es la de las simetrías, [...]

Esta es una afirmación alucinante, y me gustaría saber si hay algún argumento físico o matemático por el que deba ser así. Por supuesto, podría ser sólo una observación empírica, pero incluso en ese caso, me gustaría saber si hay al menos un argumento intuitivo de por qué podría ser así.

Answer 1

El profesor Cvitanovic afirma que el valor propio 1 de la matriz de monodromía es un caso no genérico con medida de Lebesgue cero. Sólo debe ocurrir por una razón, como, la simetría o bifurcación , cf. ChaosBook Sección 5.1.

Por otro lado, si un sistema lagrangiano tiene una simetría, entonces hay una cantidad conservada $Q$ por Teorema de Noether . En otras palabras, el flujo de la simetría y el flujo de la evolución del tiempo se conmutan. Por lo tanto, si el flujo de la simetría conduce a una variación infinitesimal de la órbita periódica, la variación infinitesimal debe ser constante a lo largo de la órbita, lo que corresponde al valor propio 1.

Para un sistema hamiltoniano la observación del Prof. Cvitanovic se desprende del teorema de Poincare, véase mi respuesta en Phys.SE aquí .