Intersecciones de divisores en expansiones de $\mathbb{P}^n$

Question

Dejemos que $p_1,p_2,p_3\in\mathbb{P}^n$ ser tres puntos generales, $X$ la explosión de $\mathbb{P}^n$ en $p_1,p_2,p_3$ , entonces a lo largo de las líneas $\left\langle p_i,p_j\right\rangle$ y finalmente a lo largo del plano $\left\langle p_1,p_2,p_3\right\rangle$ con divisores excepcionales $E_i$ , $E_{i,j}$ y $E_{1,2,3}$ . Sea $H$ sea el pull-back de la sección del hiperplano.

¿Cómo podemos calcular los números de intersección $H^{k}\cdot E_1^{k_1}\cdot E_{2}^{k_2}\cdot E_{i,j}^{k_{i,j}}\cdot E_{1,2,3}^{h}$ con $k+k_1+k_2+k_{i,j}+h = n$ ?

Algunas de ellas son trivialmente nulas. Usando estas y algunas otras relaciones obtuve $E_i^n = (-1)^{n-1}$ y $E_{i,j}^n = 2\cdot (-1)^{n-1}$ . ¿Podríamos calcular estos números observando los haces normales?

Answer 1

Dada una variedad proyectiva lisa $X$ y una subvariedad suave $Y$ existe una fórmula para el anillo de Chow de la expansión de $X$ a lo largo de $Y$ en términos de los Anillos de Chow de $X$ y $Y$ y las clases de Chern/Segre del haz normal de $Y$ en $X$ . (Por ejemplo, eche un vistazo al libro de Fulton sobre la "Teoría de la Intersección"). Aplicando esto repetidamente deberías conseguir lo que necesitas.