Condición de naturalidad para los funtores adyacentes

Question

Estoy leyendo el capítulo 2 del libro de Tom Leinster Teoría básica de las categorías . En la sección 2.1 define la condición de naturalidad con dos ecuaciones. Para las categorías $\mathscr{A}$ y $\mathscr{B}$ y morfismos $p: A' \rightarrow A$ , $f: A \rightarrow G(B)$ en $\mathscr{A}$ y $q: B \rightarrow B'$ , $g: F(A) \rightarrow B$ en $\mathscr{B}$ si $F$ y $G$ son funtores adyacentes tenemos $\overline{q \circ g} = G(q) \circ \overline{g}$ y $\overline{f \circ p} = \overline{f} \circ F(p)$ .

En la sección 2.2 afirma que se deduce de la condición de naturalidad que para cada $A \in \mathscr{A}$ tenemos un mapa $\eta_A : A \rightarrow GF(A)$ tal que $\eta_A = \overline{1_{F(A)}}$ . Además, para cada $B \in \mathscr{B}$ tenemos un mapa $\epsilon_B : FG(B) \rightarrow B$ tal que $\epsilon_B = \overline{1_{G(B)}}$ . Además, éstas definen transformaciones naturales.

Me cuesta ver cómo se deduce esto de las condiciones de naturalidad. Para construir un mapa $A \rightarrow GF(A)$ a partir de las condiciones dadas, parece que tendría que establecer $B = F(A)$ , $A = A'$ y $p = 1_A$ . Este enfoque no lleva a ninguna parte ya que todo lo que puedo conseguir es $f = \overline{\overline{f}}$ .

Answer 1

La naturalidad de la biyección Hom puede expresarse mediante el siguiente diagrama conmutativo:

$\require{AMScd}$ $$\begin{CD} id_{F(A)}\in Hom(F(A),F(A)) @>\text{Adjoint bijection}>> Hom(A,GF(A))\\ @V \text{postcompose}\;\; F(A\to A') VV @V \text{postcompose}\;\; GF(A\to A')VV\\ Hom(F(A),F(A')) @>\text{Adjoint bijection}>> Hom(A,GF(A'))\\ @A{\text{precompose} \;\; F(A\to A')}AA @A {\text{precompose} \;\; A\to A'}AA\\ id_{F(A')}\in Hom(F(A'),F(A')) @>\text{Adjoint bijection}>> Hom(A',GF(A')) \end{CD}$$

Las direcciones hacia arriba y hacia abajo representan cada una una parte del axioma.

Lo que hay que notar aquí es que bajo los mapas verticales, tanto $id_{F(A)}$ y $id_{F(A')}$ se mapea con el mismo morfismo en $Hom(F(A),F(A'))$ (esto es esencialmente por el axioma sobre los morfismos de identidad).

Así que su imagen final en $Hom(A,GF(A'))$ deben coincidir al seguir las flechas verticalmente y luego horizontalmente.

Pero por la conmutatividad del diagrama, entonces por definición de $\eta$ hay que tener

$$ GF(A\to A')\circ\eta_A=\eta_{A'} \circ (A\to A') $$

lo que es exactamente la naturalidad de $\eta$