La integral de Lebesgue de una función medible no negativa.

Question

Realmente necesito ayuda para demostrarlo:

Dejemos que { $f_n$ } sea una secuencia de funciones medibles no negativas que convergen a $f$ puntualmente en E. Sea $M>0$ sea tal que $\int_Ef_n\le M$ para todo n. Demuestre que $\int_E f\le M$ .

Cualquier ayuda la agradezco mucho. Gracias

Answer 1

Puedes usar el lema de Fatou: $\liminf_{n} f_n = f$ desde $f_n \to f$ en el sentido de las agujas del reloj, y $$ \liminf_{n} \int_E f_n \leq M $$ ya que todos los $\int_E f_n$ son, y entonces Fatou dice $$ \int_E f = \int_E \liminf_n f_n \leq \liminf_n \int_E f_n \leq M. $$