El conjunto de potencia de cualquier conjunto puede ser igual a $\phi$

Question

En mi examen de topología me hicieron esta pregunta y no pude hacerla bien. Por lo tanto, lo estoy publicando aquí.

Sea A un conjunto cualquiera . Sea P(A) el conjunto de potencias de A, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de A, Entonces cómo es la afirmación" P(A)= $\phi$ para algún A" una afirmación falsa?

Creo que si A = $\phi$ entonces P(A) también es $\phi$ ¿pero en la clave de respuestas está marcado como falso?

¿Por qué?

Answer 1

El conjunto de potencias de un conjunto $X$ tiene $2^{|X|}$ elementos. Así que el conjunto de potencias de cualquier conjunto tiene al menos un elemento (como $2^0=1$ ), y por lo tanto no puede estar vacío.

Answer 2

Supongamos que $\exists A$ tal que $\mathcal P(A)=\emptyset$ . Esto significa que no hay $B$ tal que $B\subseteq A.$ Pero sabemos que $A\subseteq A$ por lo que existe un $B(=A)$ que es una contradicción. Por lo tanto, no $A$ existe tal que $\mathcal P(A)=\emptyset$ .