¿Cómo puedo demostrar que los ideales generados $(X^2+1)$ y $(X^2+1, 7)$ del anillo polinómico $\mathbb{Z}[X]$ son un ideal primo y un ideal maximal, respectivamente?
Respuestas
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Para mostrar $(X^2+1)$ es un ideal primo, imagina que tomas dos polinomios con coeficientes enteros, $P(X)$ y $Q(X)$ y $P(X)\cdot Q(X) = (X^2+1)R(X)$ para algún otro polinomio $R(X)$ . El polinomio $X^2+1$ es el grado $2$ y no tiene raíces en $\mathbb Z$ ...así que es irreductible... ¿Puedes llevarlo desde aquí?
Para demostrar que $\mathbb Z[X]\big/(X^2+1,7)$ es un campo (y por lo tanto que $(X^2+1,7)$ es maximal), primero se puede demostrar que como anillos $$ \frac{\mathbb Z[X]}{(X^2+1,7)}\cong \frac{\big(\mathbb Z\big/(7)\big)[X]}{(X^2+1)}, $$ y que $F=\mathbb Z/(7)$ es un campo. Como $-1$ no es un cuadrado en $F$ , $F[X]\big/(X^2+1)\cong F(i)$ es una extensión de campo de orden $2$ pero en particular $F(i)$ es un campo, por lo que $(X^2+1,7)$ es máxima.
Anurag A
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Sugerencia
¿Puede comprobar que $$\Bbb{Z}[x]/\langle x^2+1, 7\rangle =\{ax+b\, | \, a,b \in \Bbb{Z}_7, \, x^2+1 \equiv 0\}?$$ Este es un finito con $7^2=49$ elementos. Si quiere comprobar que se trata de un campo, tiene que comprobar las propiedades que definen un campo. Una de esas propiedades es ver si tiene algún divisor cero (el dominio integral finito es un campo). \begin{align*} (ax+b)(cx+d) \equiv 0 \\ acx^2+(ad+bc)x+bd \equiv 0 \\ (ad+bc)x+(bd-ac) \equiv 0 && (\because x^2 \equiv -1) \end{align*} Esto implica \begin{align*} ad+bc & \equiv 0 \pmod{7}\\ bd-ac& \equiv 0 \pmod{7}. \end{align*}
Elevando al cuadrado y sumando nos da \begin{align*} (ad+bc)^2+(bd-ac)^2 & \equiv 0 \pmod{7}\\ (ad)^2+(bc)^2+(bd)^2+(ac)^2 & \equiv 0 \pmod{7}\\ (a^2+b^2)(c^2 + d^2)& \equiv 0 \pmod{7} \end{align*}
Comprueba que al menos uno de los $ax+b$ o $cx+d$ tiene que ser el elemento cero?
Un enfoque similar puede ser útil para la primera parte si se puede demostrar que
$$\Bbb{Z}[x]/\langle x^2+1\rangle =\{ax+b\, | \, a,b \in \Bbb{Z}, \, x^2+1 \equiv 0\}$$
