El cierre del laplaciano en $C^\infty_0(X)$ no puede generar un semigrupo fuertemente continuo en $C(X)$ , ya que hay dos generadores distintos (¡cerrados!) que se extienden $(\Delta, C^\infty_0(X))$ a saber el laplaciano de Dirichlet y el laplaciano de Neumann. Desde el punto de vista probabilístico, corresponden a un movimiento browniano absorbente y reflectante, respectivamente.
Esto se deduce del hecho básico de que los generadores de los semigrupos no pueden extenderse estrictamente unos a otros.
Lema: Supongamos que $(T_t)_{t\geq 0}$ es un semigrupo fuertemente continuo con generador $(L,D(L))$ y que $(S_t)_{t\geq 0}$ es un semigrupo fuertemente continuo con generador $(K,D(K))$ . Supongamos también que $L$ extiende $K$ Es decir, $D(K)\subseteq D(L)$ y $Ku=Lu$ para todos $u\in D(K)$ . Entonces $T_t=S_t$ para todos $t\geq 0$ .
Prueba. Arreglar $u\in D(K)$ y $t>0$ y considerar el mapa continuo de $[0,t]$ a $C(X)$ dado por $s\to T_{t-s} S_su$ . Este mapa es diferenciable en $(0,t)$ con $$\biggl({d\over{ds}}\biggr) T_{t-s} S_su= -L T_{t-s} S_su+ T_{t-s} K S_su= T_{t-s} (K-L)(S_su)=0.$$ Se deduce que el valor de este mapa en $s=0$ y en $s=t$ debe ser igual, es decir $T_tu=S_tu$ . Como esta ecuación es verdadera en el conjunto denso $D(K)$ y como $T_t$ y $S_t$ son operadores acotados, se deduce que $T_t=S_t$ .
Por lo tanto, la ampliación $D(K)\subseteq D(L)$ no es genuino; es decir, $D(L)=D(K)$ . Por lo tanto, si dos generadores cualesquiera se extienden el uno al otro, de hecho deben coincidir.
