Encontrar la función de densidad de probabilidad a partir de su función de autocorrelación

Question

Para una función positiva $f(x)$ su función de autocorrelación $A(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s)f(s+x) ds>0$ y es positiva-definida (su transformada de Fourier $\mathcal{F}(A(x))>0$ ).

Ahora para lo contrario, dada una función positiva-definida $A(x)>0$ ¿existe una función positiva $f(x)$ tal en $A(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(s)f(s+x) ds$ ?

Answer 1

Esto se llama el "problema de recuperación de fase", que es bastante famoso, especialmente en matemáticas aplicadas, cristalografía, acústica, etc. El término proviene del hecho de que

$$\hat A(\xi)=|\hat f (\xi)|^2 >0.$$

lo que equivale al problema de la recontrucción de $f$ de $|\hat f|$ o, de forma equivalente, de reconstruir $\hat f$ de $|\hat f|$ . En general esto no tiene una solución única ya que se puede reconstruir $\hat f$ en la forma

$$\hat f(\xi)= [\hat A(\xi)]^\frac{1}{2} e^{i\phi(\xi)}$$

para alguna fase real arbitraria $\phi$ . Dicho de otro modo, cualquier modulación de $\hat f$ da lo mismo $|\hat f|$ . Así se pierde toda la información de fase, de ahí el término "recuperación de fase". No conozco los detalles de la solución completa de esto ( debido a Rosenblatt ) pero supongo que la solución no es única en general, sino única hasta "algunas invariancias". Además, en el caso especial que estás considerando (medidas de probabilidad) tal vez esta respuesta sea más sencilla aunque probablemente siga sin ser única, ya que cualquier traslación de la densidad (por tanto, la modulación de su transformada de Fourier), da la misma respuesta.

Ver también este documento de Jaming y Kolountzakis donde se consideran problemas similares; en particular, se puede hacer la misma pregunta para el $k$ -(en lugar de la función $2$ -correlación=correlación automática que se considera aquí).

Espero que esto ayude.