expectativa de una función no lineal de una variable aleatoria gaussiana

Question

Estoy leyendo un libro sobre la simulación de Montecarlo y quiero saber de dónde viene la fórmula de abajo.

$$E\left[ X^4\right] {\text{ }} = 3\sigma _x^4 + 6\sigma _x^2\mu _x^2 + \mu _x^4$$

Supongamos que $X$ es una variable aleatoria gaussiana: $X \sim N\left({\mu_x},\sigma _x^2\right)$ . Gracias.

Answer 1

Esto se deduce del cálculo de $$ \mathbb{E}[X^4] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_x}\int_{-\infty}^\infty x^4 e^{-\frac{(x-\mu_x)^2}{2\sigma_x^2}}dx $$ por ejemplo (la definición del 4º momento bruto de una v.r. gaussiana). Véase, por ejemplo esta página en Wolfram Mathworld (31) y (36).

Answer 2

La forma más sencilla es utilizar la función generadora de momentos. La MGF de una variable aleatoria gaussiana es \begin{align} M_X(t)=e^{t\mu_x+\frac{1}{2}t^2\sigma_x^2}=\mathsf{E}(e^{tX})~\text{By def.}\\ \end{align} Ahora, utilizando la serie de Taylor de la función exponencial, expande tanto el lado derecho como el izquierdo de la ecuación anterior, e iguala los términos de cuarto orden en ambos lados, obtendrás 4º momento de la variable aleatoria gaussiana. Es decir, \begin{align} 1+t\mu_x+\frac{1}{2}t^2\sigma_x^2+\left(t\mu_x+\frac{1}{2}t^2\sigma_x^2\right)^2\frac{1}{2!}+\ldots =1+t\mathsf{E}(X)+\frac{t^2}{2!}\mathsf{E}(X^2)+\frac{t^3}{3!}\mathsf{E}(X^3)+\frac{t^4}{4!}\mathsf{E}(X^4)+\ldots \end{align} Comparando la 4ª potencia de $t$ en ambos lados da la respuesta.