Dejemos que $\theta_1, \theta_2$ y $\theta_3$ ángulos de un triángulo. Demostrar que para cada $\varepsilon>0$ existe un triángulo con vértices en $\mathbb{Z}^2$ tal que $|\frac{\pi}{3}-\theta_i|<\varepsilon$ .
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user87023
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Este es un enfoque de "fuerza bruta". Toma un polígono grande $\mathcal P$ con vértices en $\mathbb R^2$ que tenga los ángulos deseados, de manera que cada arista de $\mathcal P$ tiene una longitud $\geq R$ . Sea $\mathbf{round}(\mathcal P)$ sea el polígono cuyos vértices son los puntos de $\mathbb Z^2$ más cercanos a los vértices de $\mathcal P$ . Entonces los ángulos de $\mathbf{round}(\mathcal P)$ están dentro de $O(1/R)$ de los ángulos de $\mathcal P$ . Pero puedes hacer $R$ arbitrariamente grande.
CodingBytes
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102
Tome el sector $$S:=\left\{(x,y)\biggm|x>0, \ {\pi\over6}-{\epsilon\over2}<{\rm Arg}(x,y)<{\pi\over6}+{\epsilon\over2}\right\}\ ,$$ centrado en el origen, y obtener $S'$ mediante la reflexión $S$ a través de la $x$ -eje. Dado que $S$ se ensancha (ilimitadamente) al salir a la derecha hay un punto $(x,y)\in S\cap{\mathbb Z}^2$ Además $(x,-y)\in S'\cap{\mathbb Z}^2$ . El triángulo con vértices $(0,0)$ , $(x,y)$ , $(x,-y)$ es isósceles, y tiene todos los ángulos $<\epsilon$ de ${\pi\over3}$ .
