Ayuda con la probabilidad total de un mensaje transmitido (¿Probabilidad total?)

Question

Pregunta Dentro de una red de comunicaciones, uno de los dos mensajes probables se envía a un centro. El primero es 000 y el otro es 111. Mientras se transmite el mensaje, la probabilidad de recibir un bit de error es de 0,3 (es decir, el 0 es en realidad un 1, y viceversa).

El mensaje recibido es 010, ¿cuál es la probabilidad de que sea 111?

Intento de solución

La probabilidad de recibir P({111}) y P({000}) es de 50/50. Por lo tanto, es 0,5.

Si recibimos 010, la posibilidad de que sea 111 significa que el primer y el tercer bit se han recibido por error.

Eso significa que hay dos mensajes recibidos por error, lo que significa que la probabilidad de que sea 111 es:

P({111}) = (.3)(.5) + 0 + (.3)(.5) = .3

PERO LUEGO PENSÉ EN ELLO, ¿POR QUÉ IMPORTA SI LOS TROZOS ESTÁN DEFORMADOS?

Sabemos que tenemos una probabilidad de 0,5 de obtener 111 o 000. El hecho de que los bits estén deformados no importa. Lo que significa que P({111}) = .5. ¿Es mi solución correcta?

Gracias.

Answer 1

Creo que quieres Teorema de Bayes . Sea $I$ sea el mensaje previsto y $R$ sea el mensaje recibido: \begin{align*} P(I = 111 \, | \, R = 010 ) & = \frac{ P( R = 010 \, | \, I = 111 )P(I = 111)}{P(R = 010 \, | \, I = 111)P(I = 111) + P(R = 010 \, | \, I = 000)P(I = 000)} \\ & = \frac{(0.3 \times 0.7 \times 0.3) \times 0.5}{(0.3 \times 0.7 \times 0.3) \times 0.5 + (0.7 \times 0.3 \times 0.7) \times 0.5} \end{align*}

Si bien es cierto que, dado que no hay pruebas de lo contrario, $P(I = 111) = 0.5$ el hecho de haber recibido $010$ hace que la intención de $111$ menos probable. Imagina que entras en una habitación con tres hombres, uno de ellos muerto. Hay un 50% de posibilidades de que uno de los hombres restantes sea el asesino. Pero entonces te das cuenta de que uno de ellos tiene una pistola humeante. ¿Sigue siendo un 50% de posibilidades? $R=010$ es la pistola humeante que tiene $I = 000$

Answer 2

La probabilidad de que salga 111 es 0,5. La probabilidad de que los bits salgan como 010 es 0,5 x (0,3 * 0,7 * 0,3) = 0,0315

Del mismo modo, la probabilidad de empezar con 000 es de 0,5 y los salieron como 010 = 0,5 X (0,7 * 0,3 * 0,7) = 0,0735

P(010) = 0.0315 + 0.0735 = 0.105

P(111|010) = P(111 intersección 010)/P(010) = 0,0315/0,105 = 0,3

Answer 3

¿POR QUÉ IMPORTA QUE LOS TROZOS ESTÉN DEFORMADOS?

Porque has recibido $010$ .   Qué partes se han deformado y qué responsabilidad tiene.

Por lo tanto, la probabilidad de que $111$ fue enviado en cambio de la igualmente probable $000$ es la probabilidad de que haya recibido dos errores y un ok en lugar de un error y dos bien .

$$\begin{align}\mathsf P(S=`111` \mid R=`010`, S\in\{`000`,`111`\}) ~=~& \dfrac{0.3^2 \cdot 07}{0.3^2 \cdot 0.7 + 0.7^2 \cdot 0.3} \\\;\\ =~& 0.3\end{align}$$