Demostrar que una ecuación cúbica tiene como máximo una raíz real o tres raíces reales

Question

Supongamos que tenemos $x^3 + \alpha x + \beta = 0$

El problema:

la ecuación cúbica tiene una raíz real si $\alpha > 0$ y tres raíces reales si $4 \alpha^3 + 27 \beta^2 < 0 $ .

Inténtalo:

Dejemos que $f(x) = x^3 + \alpha x + \beta$ . Uno tiene que $f'(x) = 3 x^2 + \alpha $ . Tenemos puntos críticos cuando

$$ 3x^2 + \alpha = 0 \iff x^2 = - \frac{ \alpha }{3} $$

Evidentemente, si $\alpha > 0$ entonces no tenemos puntos críticos y $f'(x) > 0$ por lo que siempre aumenta. Dado que $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ y $\lim_{x \to -\infty} = - \infty$ , entonces debe haber algún $c$ tal que $f(c) = 0$ así que tenemos una raíz real.

Ahora, si $\alpha < 0$ , entonces tenemos puntos críticos $x = \pm \sqrt{ -\alpha/3 } $ . pero, aquí estoy atascado. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$x=-\sqrt{-\alpha\over3}$ es el máximo, $x=\sqrt{-\alpha\over3}$ es el mínimo.

Si queremos tres raíces reales debe ser:

$$[(-t)^3-\alpha t+\beta][t^3+\alpha t+\beta]<0,$$

(donde $t=\sqrt{-\alpha\over3}$ ). De hecho, sabemos que si $f(x)=x^3+\alpha x+\beta:$ $$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty,$$ $f'(x)>0$ si $x<-\sqrt{-\alpha\over3}$ ; $f'(x)<0$ si $-\sqrt{-\alpha\over3}<x<\sqrt{{-\alpha\over3}}$ y $f'(x)>0$ si $x>\sqrt{-\alpha\over3}$ por lo que si la desigualdad anterior es cierta, entonces el máximo debe ser positivo y el mínimo negativo y la función interseca la $x-axis$ en tres puntos (formalmente se puede aplicar el teorema de Bolzano), es decir, debemos tener tres raíces reales.

Si calculas la expresión obtienes

$$-t^6-\alpha t^4-\beta t^3-\alpha t^4-\alpha^2 t^2-\alpha\beta t+\beta t^3+\alpha \beta t+\beta^2<0$$ $$-t^6-2\alpha t^4-\alpha^2 t^2+\beta^2<0$$ $$-{\alpha^3\over27}-{2\over9}\alpha^3+{\alpha^3\over3}+\beta^2<0$$ $${4\over27}\alpha^3+\beta^2<0$$

según sea necesario.

Answer 2

El thereom fundamental del álgebra describe las raíces de los polinomios. En este caso, las posibilidades para una ecuación cúbica son 1 par complejo (y una raíz real) o (tres raíces reales). Esto es un poco complicado, pero se podría utilizar de manera más formal

Answer 3

Considere La fórmula de Vieta para polinomios cúbicos:

dado $P(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ y las raíces $x_1,x_2,x_3$ para $P(x) = 0$ Sabemos que

$$x_1+x_2+x_3 = -\frac{b}{a}$$ $$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\frac{c}{a}$$ $$x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$$

Su polinomio es el caso especial con $a=1,b=0$

Supongamos ahora que existe una solución, en la que dos raíces son reales y la tercera es imaginaria, c.l.o.g. $x_1$ y $x_2$ son reales, pero $x_3$ no lo es. Digamos que $x_3 = x_{3r} + i \cdot x_{3i}$ con $x_1,x_2,x_{3r},x_{3i} \in \mathbb{R}, x_{3i} \neq 0$ .

Ahora: $$x_1 + x_2 + x_3 = -b / a = 0$$ $$\Leftrightarrow x_1 + x_2 + x_{3r} + i \cdot x_{3i} = 0 + 0 \cdot i$$ Si nos fijamos en las partes imaginarias, obtenemos $$\Rightarrow x_{3i} = 0$$

Lo cual es una contradicción, por lo que dos raíces reales es imposible. Como se pueden encontrar ejemplos con $0,1$ y $3$ raíces reales, ya está hecho.

Y $\alpha, \beta$ pueden ser números complejos para esto.