Mostrar que $ e^{A+B}=e^A e^B$

Question

Si $A$ $B$ $n\times n$ matrices tales que el $AB = BA$ (es decir, $A$ $B$ conmutar), muestran que

$$ e^{A+B}=e^A e^B$$

Tenga en cuenta que $A$ $B$ NO tienen que ser diagonalizable.

Answer 1

$$e^{A}e^{B} = \left(\sum \frac{A^{n}}{n!}\right)\left(\sum\frac{B^{n}}{n!}\right)$$ $$=\sum^{\infty}_{m=0}\sum^{\infty}_{n=0}\frac{A^{m}B^{n}}{m!n!}$$ $$=\sum^{\infty}_{l=0}\sum^{l}_{m=0}\frac{A^{m}B^{l-m}}{m!(l-m)!}$$ $$=\sum^{\infty}_{l=0}\frac{1}{l!}\sum^{l}_{m=0}\frac{l!}{m!(l-m)!}A^{m}B^{l-m}$$ $$=\sum^{\infty}_{l=0}\frac{(A+B)^{l}}{l!}$$ $$=e^{A+B}$$

Nota:a y B han de desplazarse. También, me puse l=m+n. Hice esto porque queremos usar el teorema del binomio para simplificar esto.

Answer 2

Aquí es diferente-ial manera, sólo porque es significativamente diferente de la estándar de Cauchy producto.

Dada una matriz cuadrada a $M$, la función de $X(t):=e^{tM}$ es la única solución de la ecuación diferencial lineal: $X'=MX$$X(0)=I$.

Ahora establezca $X(t):=e^{tA}e^{tB}$ y observar que los factores que conmuta con cada uno de los otros, así como viajan con $A$$B$. De ello se sigue que $$ X'(t)=Ae^{tA}e^{tB}+e^{tA}^{tB}=(a+B)e^{tA}e^{tB}=(a+B)X(t). $$ Y desde $X(0)=e^0e^0=I$, se sigue de la unicidad de arriba que $$ X(t)=e^{tA}e^{tB}=e^{t(a+B)}\qquad\forall t\in\mathbb{R}. $$ Set $t:=1$ para obtener la fórmula deseada.