¿Distribución de la probabilidad angular entre vectores 3D?

Question

El ángulo $\theta$ entre dos vectores 3D con una orientación aleatoria uniforme en el espacio se distribuye según $sin(\theta)$ . En la Fig. 1 he simulado puntos aleatorios en una esfera (como en ¿Cómo encontrar un eje aleatorio o un vector unitario en 3D? ) y calculamos el ángulo entre los vectores de los puntos y el eje z:

Fig. 1: http://imgur.com/a/HDi13

AHORA MI PREGUNTA: Estoy buscando un expresión general si los vectores ya no están orientados uniformemente en el espacio sino que se ven todos en una dirección con sólo pequeñas desviaciones distribuidas gaussianamente en los ángulos (por ejemplo, como las moléculas en una red de cristal). Tengo la sensación de que debería ser algo así como $$ p_n(\theta)\cdot p_s(\theta), \text{ where } p_n \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma), p_s \sim sin(\cdot)$$ (véase la simulación en la Fig. 2):

Fig. 2: http://imgur.com/a/r79oe

¿Puede ser eso cierto y cómo puedo argumentarlo desde un punto de vista de la teoría de la probabilidad (y también intuitivo)?

La expresión $ p(\theta) = p_s(\theta)\cdot p_n(\theta) $ me parece algo extraño ya que estoy multiplicando dos distribuciones de la misma variable.

Answer 1

Por si a alguien le interesa alguna vez este tema, creo que ahora he podido responder a mi pregunta. Tuve especialmente problemas para encontrar la descripción adecuada para una "orientación aleatoria" al hacer esta pregunta. La idea clave era que podemos normalizar, transformar y girar dos vectores en el espacio, de forma que ambos vectores partan del origen y uno de los dos vectores esté alineado con el eje z, sin que ello afecte a la distribución de probabilidad del ángulo entre los dos vectores. La "orientación aleatoria" del segundo vector es entonces una densidad de puntos en la esfera unitaria y el ángulo entre los dos vectores coincide con el ángulo polar del sistema de coordenadas esféricas .

Si ahora suponemos los dos ángulos aleatorios independientes $\Theta'$ et $\Phi'$ , donde $\Theta'$ se distribuye en el plano yz según $f_{\Theta'}(\theta')$ et $\Phi'$ se distribuye en el plano xy según $f_{\Phi'}(\phi')$ , encontramos la probabilidad de que un punto de la esfera unitaria esté contenido en un área diferencial según $$f(\theta', \phi') sin(\theta') d\theta' d\phi' = f_{\Theta'}(\theta') f_{\Phi'}(\phi') sin(\theta') d\theta' d\phi',$$ donde $sin(\theta') d\theta' d\phi'$ es el elemento de superficie de las coordenadas esféricas. Por lo tanto, podemos obtener la distribución de probabilidad de $\theta$ de $$f_{\Theta}(\theta) d\theta = \int_{\phi} f_{\Theta'}(\theta) f_{\Phi'}(\phi') sin(\theta) d\theta' d\phi' = f_{\Theta'}(\theta) sin(\theta) d\theta$$ como $$f_{\Theta}(\theta) = f_{\Theta'}(\theta) sin(\theta).$$

En particular, podemos suponer $f_{\Theta'}(\theta')$ sea aproximadamente gaussiano en el intervalo $[0,\pi]$ .

Por favor, corrígeme si esto es incorrecto..