¿Por qué es útil estudiar los haces vectoriales?

Question

Tengo esta pregunta que viene de un El puesto de Qiaochu . Algunas respuestas, especialmente la de David Lehavi, trazaban la analogía entre haces y variedades y módulos y anillos. Así que me pregunto, ¿hay alguna razón importante por la que el estudio de los haces pueda dar información sobre las variedades? (Supongo que para este asunto, en realidad debería sustituir las variedades por los colectores).

He oído hablar de algunos invariantes, como el grupo de Picard para las variedades complejas. Pero dada mi inexperiencia en estos conceptos, no sé realmente por qué deberían ser importantes. Así que para aquellos que estén pensando en "cocinar invariantes", se agradecerían algunas explicaciones más detalladas sobre por qué son útiles (¡y ojalá algunos ejemplos elementales!). Gracias.

Answer 1

Bueno, en geometría algebraica, aquí hay un par de razones:

1) Subvariedades: Toma un haz vectorial, mira una sección, ¿dónde es cero? Muchas subvariedades aparecen de este modo (no todas, véase esta pregunta ) pero, en general, podemos obtener mucha información de los haces vectoriales en relación con las subvariedades.

2) Invariantes de espacios: El grupo de Picard de los haces de líneas y, más en general, el grupo/anillo de Grothendieck es un invariante útil para diferenciar espacios y analizar la geometría indirectamente. En los espacios lisos, de hecho, los complejos de haces vectoriales pueden utilizarse para reemplazar por completo a las láminas coherentes (creo que por el teorema de Syzygy).

3) Mapas en el espacio proyectivo: Este es específico del haz de líneas. Sea $V\to\mathbb{P}^n$ sea cualquier incrustación, digamos, entonces el pullback de $\mathcal{O}(1)$ es un haz de líneas en $V$ . Lo bueno es que las secciones globales de este haz de líneas determinan y son determinadas por el mapa (podemos obtener mapeos degenerados tomando subespacios, pero ignoremos eso, y basemos los loci por el momento). Resulta que podemos definir que un haz de líneas es amplio, una condición sólo en el haz, y que basta con decir que una potencia de él da un morfismo a $\mathbb{P}^n$ Así que entender los mapas en el espacio proyectivo es lo mismo que estudiar los haces de líneas amplios en una variedad.

Espero que eso ayude, hay mucho más, pero esas son las tres primeras cosas que se me ocurrieron.

Answer 2

Creo que muchas de las otras respuestas se reducen a la misma idea subyacente: Las secciones de los haces vectoriales son "funciones generalizadas" o "funciones retorcidas" en su colector/variedad/lo que sea.

Por ejemplo, Charles menciona las subvariedades, que son aproximadamente "lugares cero de las funciones". Sin embargo, no hay funciones globales holomorfas no constantes en, por ejemplo, una variedad proyectiva. Entonces, ¿cómo podemos hablar de subvariedades de una variedad proyectiva? Bueno, sí que tenemos funciones holomorfas no constantes localmente, así que todavía podemos definir las subvariedades localmente como lugares cero de las funciones. Pero las funciones $f_i$ que definen una subvariedad en un conjunto abierto $U$ y las funciones $g_i$ que definen una subvariedad en otro conjunto abierto $V$ no necesariamente estarán de acuerdo en $U \cap V$ . Necesitamos algún tipo de "giro" para que el $f_i$ y el $g_i$ El partido del $U \cap V$ . Al hacerlo, el objeto global que obtenemos no es una función global (porque, de nuevo, no hay funciones globales no constantes) sino una función global "retorcida", es decir, una sección de un haz vectorial cuyas funciones de transición están descritas por estos "giros".

Del mismo modo, las secciones de los haces vectoriales y los haces de líneas son una buena manera de hablar de las funciones con polos. Las funciones meromorfas se convierten entonces en simples secciones de un haz de líneas, lo que es agradable porque nos permite evitar tener que hablar de $\infty$ . Esta es esencialmente la razón por la que los haces de líneas están relacionados con los mapas al espacio proyectivo $X \to \mathbb{P}^n$ ; de forma intuitiva, $n+1$ secciones de un haz de líneas sobre $X$ es lo mismo que $n+1$ funciones meromórficas en $X$ que es lo mismo que un mapa " $X \to (\mathbb{C} \cup \infty)^{n+1}$ " que se convierte en un mapa " $X \to \mathbb{P}^n$ " después de "proyectar".

Una forma de pensar en los haces vectoriales y sus secciones como invariantes de tu colector/variedad/lo que sea es pensar en ellos como una descripción de qué tipos de funciones "generalizadas" o "retorcidas" son posibles en tu colector/variedad.

La visión de las secciones de los haces vectoriales como "funciones retorcidas" también es útil para la física, como en la respuesta de David, por ejemplo. Por ejemplo, supongamos que tenemos un colector, que consideramos como un espacio en el que se mueven las partículas. Tenemos coordenadas locales en el colector, que se utilizan para describir la posición de las partículas. Como estamos en un colector, las transiciones entre las coordenadas locales no son triviales. También podemos estar interesados en estudiar, por ejemplo, las velocidades o los momentos (o la aceleración, etc.) de las partículas que se mueven en el espacio. En los gráficos locales podemos describir estos momentos fácilmente en términos de las coordenadas locales, pero entonces para una descripción global necesitamos transiciones entre estas descripciones locales de los momentos, al igual que necesitamos transiciones entre las coordenadas locales para describir la variedad globalmente. Las transiciones entre las descripciones locales de los momentos no son las mismas que entre las coordenadas locales (aunque las primeras dependen de las segundas); dicho de otra manera, obtenemos un haz vectorial no trivial (vale, no siempre no trivial, pero normalmente no trivial) sobre nuestra variedad.

Answer 3

Aunque no es una respuesta completa a la pregunta, permítame señalar que los paquetes de vectores a veces son forzados.

Por ejemplo, puede empezar con una función honesta $f$ definida en una colector $M$ en el que un grupo $G$ actos. Supongamos para simplificar que $G$ actúa de tal manera que el cociente $M/G$ es una variedad. Si la función fuera invariante bajo el grupo, definiría una función honesta en el cociente. Pero si la función es "casi" invariante, digamos $$f(g^{-1} x) = \alpha(g) f(x)$$ para $g\in G$ et $x \in M$ y donde $\alpha$ es algún carácter de $G$ entonces $f$ sólo define una sección de un haz de líneas (homogéneo) en el cociente.

En general, si $f: M \to V$ , donde $\rho: G \to \mathrm{GL}(V)$ es una representación de $G$ y asumiendo que $$f(g^{-1} x) = \rho(g) f(x)$$ entonces en el cociente $M/G$ , $f$ define una sección de un haz vectorial (homogéneo).

Otro caso es cuando se tiene una familia de endomorfismo $\phi(x) \in \mathrm{End}(V)$ de un espacio vectorial fijo $V$ parametrizado por un colector $M$ . Entonces el núcleo de $\phi(x)$ es un subespacio vectorial de $V$ y asumiendo que su dimensión no varía con $x$ definen un haz vectorial sobre $M$ .

También hay invariantes interesantes que requieren que uno considere haces vectoriales. Por ejemplo, la teoría K topológica, que es el escenario natural del teorema del índice, es una teoría de haces vectoriales.

Por último, los haces vectoriales son esenciales para la teoría gauge, que a su vez ha proporcionado resultados muy útiles en topología: Los primeros trabajos de Donaldson en los años 80 sobre la topología de los 4 manifolds, la teoría de Seiberg-Witten a mediados de los 90,...

Answer 4

Otro ejemplo en el que se ven forzados los paquetes es si se quiere diferenciar una función en una variedad. (Esto puede ser un caso especial de una de las observaciones anteriores -- escribo como un total no experto). Si se diferencia una función de valor real en R^n, se obtiene una función que toma valores en R^n: si se diferencia una función de valor real en una variedad de n dimensiones, entonces toma valores en el haz tangente. Esto no explica realmente por qué son un concepto tan poderoso, pero al menos muestra que son un concepto natural.

Answer 5

He aquí algunas motivaciones desde el punto de vista de la cuantización geométrica. En esta teoría, se suelen considerar haces vectoriales sobre una colectorial simpléctica. La variedad simpléctica representa el espacio de estados de un "sistema mecánico clásico", por ejemplo, en el caso de una partícula que se mueve sobre una línea, la variedad simpléctica es $\mathbb{R}^2$ el espacio de las posiciones y los momentos de las partículas.

Las ecuaciones de movimiento de la mecánica clásica (ecuaciones de Hamilton) son, en general, no lineales en las coordenadas del espacio de estado, ya que se obtienen a partir de los corchetes de Poisson. La versión cuántica de este problema considera haces de líneas sobre el espacio simpléctico "clásico". Las secciones de estos haces representan las "funciones de onda" de las partículas. En la mecánica cuántica, las ecuaciones de movimiento son lineales (la ecuación de Schrodinger). Esta "linealización" se consigue trabajando sobre el haz de líneas que tiene una estructura intrínsecamente lineal, y los operadores de evolución inducidos actúan linealmente sobre el espacio de secciones.

Muchas propiedades de los haces de líneas también tienen importancia aquí. Por ejemplo, el espacio proyectivo en el que las secciones del haz de líneas definen una incrustación es simplemente el espacio de Hilbert mecánico cuántico proyectivo.

La generalización a un haz vectorial se utiliza para describir partículas con "grados de libertad internos" como el espín.

El análisis armónico sobre haces vectoriales se utiliza en los problemas del espectro del caso mecánico cuántico.