Demostrar que $\frac{m}{n}+\sqrt{3}\frac{p}{q}$ es irracional

Question

Si $\frac{m}{n}$ et $\frac{p}{q}$ son racionales. Demostrar que $\frac{m}{n}+\sqrt{3}\frac{p}{q}$ es irracional, dado $p\neq 0$ .

Answer 1

Sugerencia : Si $\alpha + \beta \sqrt 3 = \gamma$ con $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb Q$ tenemos $\sqrt 3 = \text?$ (resolver para $\sqrt 3$ ). ¿Es esto posible?

Answer 2

CONSEJOS:

1. ¿Puede demostrar que $\sqrt{3}$ es irracional?
2. ¿Puede demostrar que si $q \neq 0$ es un número racional no nulo y $x$ es un número irracional, entonces $qx$ ¿también es irracional?
3. ¿Puede demostrar que si $q$ es un número racional y $x$ es un número irracional, entonces $q+x$ ¿también es irracional?

EDITAR:

Bueno, en realidad, si quiero darte más pistas te daré demasiada información. Pero como todavía eres nuevo en el tema creo que no está mal ver primero algunos métodos.

Sólo probaré la segunda. Dejaré la primera y la tercera para que las pruebes por ti mismo. Supongamos que $qx$ no es irracional. Por lo tanto, $qx=p$ donde $p \in \mathbb{Q}$ . Desde $q \neq 0$ Puedo dividir por $q$ y obtener $\displaystyle x = \frac{p}{q}$ . Pero como $p,q \in \mathbb{Q}$ y la división de dos números racionales es una tercera entonces $\displaystyle x = \frac{p}{q}$ lo cual es una contradicción porque asumimos $x$ es irracional.

Ahora utiliza el mismo truco para el tercero. Además, creo que a estas alturas deberías saber que $2$ o $3$ no son números especiales. Puedes demostrar que si $p$ es un número primo, entonces $\sqrt{p}$ es irracional. Es un buen ejercicio para hacer.