Los Números reales para Irracional Poderes

Question

En relación con esta cuestión , hemos discutido elevar números a los poderes.

Estoy interesado si alguien sabe los resultados para la concienciación de los números irracionales poderes.

Por ejemplo, se puede fácilmente demostrar que existe un número irracional elevado a un irracional potencia tal que el resultado es un número racional. Observe ${\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}}$. Ya no sabemos si ${\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}}$ es racional o no, hay dos casos.

1. ${\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}}$ es racional, y hemos terminado.

2. ${\sqrt 2 ^ {\sqrt 2}}$ es irracional, pero si tenemos que subir por ${\sqrt 2}$ nuevo, podemos ver que $$\left ( \sqrt 2 ^ \sqrt 2 \right ) ^ \sqrt 2 = \sqrt 2 ^ {\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \sqrt 2 ^ 2 = 2.$$

De cualquier manera, hemos demostrado que existe un número irracional elevado a un irracional potencia tal que el resultado es racional.

Puede decir algo más sobre la crianza de los números irracionales irracional poderes?

Answer 1

Perdona mi falta de conocimiento de cómo implementar correctamente las ecuaciones en el TeX! Siempre me gustó especialmente que...

$e^{\pi} - \pi = 19.9990999791894757672664\cdots$

Creo que también sería posible demostrar que el resultado es trascendental así. Los dos casos $e^{\pi}$ es trascendental o $e^{\pi}$ no lo es. La diferencia de un no-trascendental número y trascendental número es trascendental, y la única vez que la diferencia de dos trascendental números no sería trascendental es cuando se podría extraer la segunda de la primera, es decir, se puede encontrar algún no-trascendental $x$ que satisfagan $e^{\pi} = x + \pi$

Por desgracia, mi prueba formal de las habilidades no son lo que una vez fueron. Estoy seguro de que este es trivial, y realmente el resultado no es ni siquiera que cerca de 20. Pero siempre me ha gustado :)

Answer 2

Si a es una expresión algebraica número distinto de 0, 1 o -1, entonces cada vez que lo eleve a un irracional algebraica de números, el resultado es trascendental por la Gelfond–Schneider teorema.