Dimensión de Hausdorff y medida de Hausdorff

Question

Estas son preguntas para los deberes: Poner ejemplos de los siguientes espacios

1. Espacio métrico incontable de dimensión Hausdorff 0.

2. $\dim X=1$ con medida de dimensión Hausdorff 1 = 0.

No creo que haya ninguna relación entre contable y medida. Tengo la vaga idea de que el primer ejemplo debería ser un conjunto de Cantor modificado de alguna manera, cada vez que eliminamos un intervalo con longitud = $c_n$ con $\sum c_n=1$ . ¿Pero este conjunto sigue siendo incontable?

Answer 1

Si $(X,\rho)$ es un espacio métrico, entonces para cualquier subconjunto $S$ tenemos $$ H_\delta^d(S):=\inf\ \{ \sum_{i=1}^\infty ({\rm diam}\ U_i)^d | S\subset \bigcup_{i=1}^\infty U_i,\ {\rm diam}\ U_i < \delta \} $$ donde el mínimo es sobre todas las cubiertas contables de $S$ . Entonces tenemos $H^d(S):=\lim_{\delta \rightarrow 0 } H^d_\delta (S)$ , que se denomina $d$ -de Hausdorff.

(1) Si $C$ es un conjunto de Cantor, entonces dos intervalos de longitud $\frac{1}{3}$ portada $C$ Así que $$H^d_\delta (C) \leq 2(\frac{1}{3})^d,\ \delta=\frac{1}{3} $$

Considerando la construcción de $C$ tenemos $$H^d_\delta (C) \leq 2^n(\frac{1}{3})^{nd},\ \delta=\frac{1}{3^n} $$

Esta dimensión es $ H^d(C)=1,\ \infty,\ 0$ cuando $d=d_0:=\ln_32$ , $d<d_0$ , $d > d_0$ respectivamente Así que $1$ -medida de Hausdorff es $0$