Este papel podría ser de interés:
El contenido de la ponencia:
Urysohn [5] preguntó si para cada espacio normal $X$ (tener
al menos dos puntos) no es un no-constante mapa continuo de $X$ do el espacio
$Y$ de números reales. Esta pregunta se respondió negativamente por Hewitt [2], Novak [2]
y Van Est-Freudenthal [1]. Los métodos utilizados por estos autores (que se remontan a Tychonoff [4])
vamos a mostrar relativamente fácil el siguiente resultado:
Teorema Vamos a $Y$ ser un espacio topológico. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) $Y$ es $T_1$-espacio,
(b) existe un espacio normal $X$ (tener al menos dos puntos), de tal forma que cada mapa continuo de $$ X $Y$ es constante.
Croquis de la construcción en la prueba de este teorema: (he omitido muchos detalles y también las pruebas de que estos no tienen las propiedades necesarias.)
Definición de un espacio $P$. Primero empezamos con algo de espacio $Y$.
- Los espacios $R_i$ por $i=1,2$ y puntos $r_i\en R_i$ están construidos de tal manera que cada mapa continuo de $R_i$ a $Y$ es constante en un barrio de $R_i$.
- Un espacio $T=R_1\times R_2\setminus \{(r_1,r_2)\}$. Este espacio tiene la propiedad de que para cada mapa continuo de $f$ de $T$ a $Y$ existen barrios de $U_i$ de $r_i$ tal que $f$ es constante en $U_1\times U_2 - \{(r_1; r_2)\}$.
- Tomamos countably muchos homeomórficos copias $T\times\{n\}$ de el espacio $T$. Se añaden dos nuevos puntos de $a$, $b$, con local del barrio de las bases $\{\bigcup T_m; m\ge n\}\cup \{a\}\subseteq B$ y $\{\bigcup T_m; m\ge n\}\cup \{b\}\subseteq B$.
- En este espacio podemos identificar $(x,r_2,n)$ y $(x,r_2,n+1)$ de $x\in R_1\setminus\{r_1\}$ y alguna incluso $n$. También identificamos $(r_1,x,n)$ y $(r_1,x,n+1)$ de cada impar $n$ y $x\in R_2\setminus\{r_2\}$.
Vamos a llamar el espacio resultante $P$.
Ahora para cualquier espacio $Z$ definimos un espacio $P(Z)$ en el conjunto $Z\veces Q$ donde un subconjunto $B$ de $Z\veces Q$ es abierto en a $Z\veces Q$ si y sólo si el siguiente se tiene:
- Si $(z;x)$ es un elemento de $B$, entonces hay un barrio $U$ de $x$ en $Q$ con $\{z\}\times U\subconjunto B$.
- Si $(z;a)$ es un elemento de $B$, entonces hay un barrio $U$ a $z$ en $Z$ con $U\times\{a\}\subconjunto B$.
Si podemos identificar en el espacio por encima de $Z\veces Q$ todos los puntos del conjunto a $Z\times\{b\}$, entonces obtendremos un espacio $P(Z)$.
Definición de $P(Z)$. El espacio $P(Z)$ contiene un homeomórficos copia de $Z$. Si $f$ es un mapa continuo de $P(Z)$ a $Y$, entonces $f$ es constante en $Z$.
Definición de $X$. Deje de $X_0$ ser un singleton. Por inducción definimos $X_{n+1}=P(X_n)$. Entonces $X_0\subconjunto X_1\subconjunto X_2\subconjunto \dots $ son habituales de los espacios. Vamos a un subconjunto de $X=\bigcup\{X_n; n=0,1,\dots\}$ ser abierto si y sólo si $B\cap X_n$ es abierto para todo $n$. El espacio que $X$ es un espacio normal. Cada mapa continuo de $$ X $Y$ es constante.
Observación. Los resultados anteriores tiene un trivial analógica:
Deje que $X$ ser un espacio topológico. Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) $X$ es conectado,
(b) no es un espacio normal $Y$ (al menos 2 puntos), de tal forma que cada mapa continuo de $$ X $Y$ es constante.
EDIT: he puesto mi intento de traducir el artículo aquí (hágamelo saber si usted encuentra algun error de ortografía o errores de traducción).
