Extensión de una función holomorfa definida en un disco

Question

Supongamos que $f$ es una función continua no evanescente en $\overline{D(0,1)} $ y holomorfo en ${D(0,1)} $ tal que $$|f(z) | = 1$$ siempre que $$|z | = 1$$

Entonces tengo que demostrar que f es constante.

Podemos ampliar $f$ a todos $\mathbb{C}$ al establecer $$f(z) = \frac{1}{\overline{f(\frac{1}{\bar{z}})}}$$ y la función resultante es holomorfa en ${D(0,1)} \ $ , $\mathbb{C} - \overline{D(0,1)}$ y continua en $\partial D(0,1)$ .

Pero cómo podemos decir que la función resultante es holomorfa en $z \in \partial D(0,1)$ ?

Answer 1

Para demostrar que $f$ es idénticamente constante, es mejor emplear el principio de máximo, según el cual el máximo de $|f|$ en $\overline{D}$ es igual a 1. Pero $f$ es no evanescente en $\overline{D}$ Por lo tanto $\frac{1}{f}$ es holomorfo en $D$ mientras que $\bigl|\frac{1}{f}\bigr|=1$ en $\partial{D}$ . Por el mismo principio de máximo se deduce ahora que el mínimo de $|f|$ en $\overline{D}$ también es igual a 1. Por lo tanto, $|f|=1$ en $\overline{D}$ De ahí se desprende fácilmente el resultado deseado.

Answer 2

Dejemos que $z$ sea un punto de la frontera. Consideremos un pequeño rectángulo alrededor de $z$ . Queremos demostrar que la integral de contorno de $f$ alrededor de ese rectángulo es $0$ para concluir por el teorema de Morera que $f$ es holomorfo en $z$ .

Corta el rectángulo en dos partes a cada lado del límite, donde haces que ambas partes (es decir, sus curvas límite) tengan cierta distancia $\epsilon>0$ desde el límite de $D$ . Por el teorema de Cauchy la integral de contorno alrededor de ambos individualmente es $0$ ya que la función es holomorfa en el complemento de $\partial D$ .

Ahora observa que puedes escribir la integral de contorno alrededor del rectángulo como un límite de la suma de las dos integrales de contorno como $\epsilon\rightarrow 0$ . Pero cada uno de estos sumandos es $0$ por lo que la integral de contorno es $0$ y la función es holomorfa en $z$ .

Se trata de un famoso truco, que puedes leer con más detalle, por ejemplo, en el libro de S. Lang (incluso puede incluir una imagen).