Desplazamiento de una flecha que representa un vector dado y su unicidad

Question

Mi pregunta es bastante similar a la que ya he encontrado en Math Stack, es decir ¿Por qué desplazar el resultado de la resta de vectores? . Como explica una de las respuestas, un vector está determinado únicamente por su longitud y orientación, por lo que podemos desplazar la flecha que lo representa como queramos y seguir refiriéndonos al mismo vector.

Sin embargo, todavía me falta algo aquí. Si la representación de un vector no es única, entonces cómo interpretar, por ejemplo, la ecuación de una recta $$ \vec{r}(t) = \vec{a} + t\vec{v}, $$ donde $\vec{v}=(a,b,c)$ es un vector de dirección y $\vec{a}=\vec{OP}$ ( $P=(x_0,y_0,z_0)$ es un punto determinado). Si para un punto fijo $t=t_0$ tenemos $\vec{r}(t_0) = \vec{a} + t_0\vec{v}$ Puedo ver claramente la suma de vectores y que el punto final de $\vec{r}(t_0)$ determina un punto en la línea. Pero si tomo $\vec{r}(t_0)$ y desplazarlo a algún otro punto de $\mathbb{R}^3$ el punto final se moverá también (pero el vector será el mismo en el sentido de la definición anterior). De hecho, al desplazar $\vec{r}(t_0)$ Puedo producir un punto arbitrario como punto final de la misma, lo que es claramente absurdo.

Está claro que me estoy perdiendo algo aquí y ninguno de mis libros de texto explica esta situación (quizás obvia).

Answer 1

Otra forma de ver la situación es la siguiente.

Podemos hacer coordenadas cartesianas para un espacio euclidiano tridimensional eligiendo un $x$ eje, a $y$ eje, y un $z$ eje, que definen un sistema de coordenadas en este espacio. El punto de intersección de los tres ejes es el origen de este sistema de coordenadas y recibe el nombre de $(0,0,0)$ en el sistema de coordenadas. Cada punto $p$ en el espacio, que se define por su posición en el espacio, tiene unas coordenadas $(p_x,p_y,p_z)$ en el sistema de coordenadas.

También podemos definir un espacio vectorial en el que cada vector $v$ se describe mediante tres coordenadas $(v_x,v_y,v_z).$ Un vector en este espacio vectorial no tiene realmente una "posición" en el sentido en que pensamos en el punto $p$ en el espacio euclidiano como si tuviera una posición, pero el vector sí tiene una longitud y una dirección.

Dado que un punto o un vector pueden describirse mediante tres coordenadas, es conveniente escribir ecuaciones que impliquen objetos de tres coordenadas que se interpretan alternativamente como coordenadas de puntos o coordenadas de vectores. Así, en $$ \vec{r}(t) = \vec{a} + t\vec{v}, $$ comenzamos con las tres coordenadas de un punto $a$ por donde pasa la línea deseada y tratarlas como coordenadas de un vector $\vec a.$ Tomamos las tres coordenadas de un vector $\vec v$ paralelo a la línea deseada, y añadir algún múltiplo de este vector a $\vec a.$ El resultado es un vector $\vec{r}(t),$ cuyas tres coordenadas interpretamos como las coordenadas de un punto $r(t)$ en la línea.

Para dar sentido a esto, podríamos utilizar el concepto de vectores de posición. El vector de posición de un punto $p$ es el vector $\vec p$ igual a la distancia y dirección desde el origen de coordenadas a $p.$ Construido de esta manera, el vector $\vec p$ siempre tiene las mismas coordenadas en el espacio vectorial que el punto $p$ tiene en el espacio euclidiano, por lo que es fácil cambiar un vector por un punto o un punto por un vector en los cálculos.

Incluso podemos dejar de representar los puntos como objetos separados y hablar sólo de sus vectores de posición. Esto es lo que suele significar la ecuación $\vec{r}(t) = \vec{a} + t\vec{v},$ donde $\vec{r}(t)$ es un vector de posición de un punto de la línea y así es como simplemente identificamos ese punto.

Answer 2

Hay otra manera de pensar en esto. A saber, olvidar la noción de "mover un vector".

Todo los vectores parten del origen. un "vector" $\vec{p} = (x, y, z)$ es sólo la flecha de $(0, 0, 0)$ a $(x, y, z)$

Ahora, en este modelo, su ecuación "línea":

$$ r(t) = \vec{a} + t\vec{v} $$

en una elección particular de $t$ me da el "vector de posición" $r(t)$ desde el origen.

Para la sustracción de vectores, se siempre hacer lo del triángulo sobre el origen, ya que todos nuestros vectores parten del origen, no hay "mover un vector para alinearlos". Los vectores siempre tienen el mismo punto de partida (el origen) y lo único que importa es dónde terminan: el $(x, y, z)$ .

La forma más limpia de pensar en un vector, en mi opinión, es la que he descrito, ya que elimina toda una clase de confusión entre "vector de posición" y "vector de no posición" y todo eso. Olvídalo: todos los vectores parten del origen.

Answer 3

Ok, para empezar digamos que tenemos realmente este espacio euclidiano $\Bbb R^3$ y lo llamaremos $G$ para el global o el espacio subyacente. Ahora podemos definir una base $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z$ . También tenemos que definir las coordenadas $x,y,z$ para que cualquier coordenada o posición pueda representarse como una n-tupla $(x,y,z)$ .

Ahora bien, esta n-tupla de coordenadas se comporta también como un vector. De hecho, podemos cambiar las coordenadas igual que podemos cambiar la base

Entonces, ¿podríamos cambiar las coordenadas y cambiar la base, o sólo una u otra?

Pero por debajo podemos o no querer representar el mismo objeto con las nuevas coordenadas y/o base.

Ahora podemos mover $r(t)$ alrededor, pero sigue pareciendo una línea a la derecha o tal vez es una línea adyacente?

En un caso el vector covaría y en el otro contravaría. Las dos nociones son duales y se puede decir que todo espacio vectorial tiene un espacio dual.

Así que $x_0\mathbf x_0 + y_0\mathbf y_0+z_0\mathbf z_0$ es un vector y ahora consideramos $x_0 \mathbf x_1+y_0\mathbf y_1+z_0 \mathbf z_1$ . Considerándolo como vector de coordenadas $(x_0,y_0,z_0)$ los dos son iguales.

O podríamos tomar $( \mathbf x_0, \mathbf y_0, \mathbf z_0)$ y $( \mathbf x_1, \mathbf y_1, \mathbf z_1)$ para ser los vectores, aquí no son la misma "entidad".