El símbolo $\Delta$ se refiere a una variación o cambio finito de una cantidad - por finito, me refiero a uno que es no infinitamente pequeño.
Los símbolos $d,\delta$ se refieren a las variaciones infinitesimales o a los numeradores y denominadores de las derivadas.
La diferencia entre $d$ y $\delta$ es que $dX$ sólo se utiliza si $X$ sin el $d$ es una cantidad real que puede medirse (es decir, en función del tiempo) sin ninguna ambigüedad sobre el "desplazamiento aditivo" (es decir, sobre la cuestión de qué nivel se declara $X=0$ ). Por otra parte, a veces se habla de pequeñas contribuciones a las leyes que no se pueden extraer de una cantidad bien definida que depende del tiempo.
Un ejemplo, el primera ley de la termodinámica . $$dU = \delta Q - \delta W$$ El lado izquierdo tiene $dU$ el cambio de la energía total $U$ del sistema que en realidad es una función bien definida del tiempo. La ley dice que es igual al calor infinitesimal $\delta Q$ suministrado al sistema durante el cambio menos el trabajo infinitesimal $\delta W$ realizado por el sistema. Los tres términos son igualmente infinitesimales pero no hay nada como el "calor global" $Q$ o "trabajo global" $W$ que se puede rastrear - sólo determinamos los cambios (flujos, hacer el trabajo) de estas cosas.
Además, hay que entender el símbolo $\partial$ para las derivadas parciales - derivadas de funciones de muchas variables para las que las restantes variables se mantienen fijas, por ejemplo $\partial f(x,y)/\partial x$ y de manera similar $y$ en el denominador.
Independientemente de eso, $\delta$ se utiliza a veces en el cálculo funcional para las funciones que dependen de funciones enteras (es decir, de infinitas variables). En este contexto, $\delta$ generaliza $d$ y tiene un significado diferente, más cercano a $d$ que $\delta$ en el ejemplo de $\delta W$ y $\delta Q$ arriba. Al igual que tenemos $dy=f'(x)dx$ para las derivadas ordinarias en el caso de una variable, podemos tener $\delta S = \int_a^b dt\,C(t)\delta x(t)$ donde la integral está ahí porque $S$ depende de innumerables variables $x(t)$ una variable por cada valor de $t$ .
En física, hay que estar preparado para que $d,\delta,\Delta$ puede utilizarse para muchas otras cosas. Por ejemplo, hay un $\delta$ -(una distribución que sólo es no evanescente para $x=0$ ) y su generalización funcional de dimensión infinita se llama $\Delta[f(x)]$ . Es un funcional que sólo es distinto de cero para $f(x)=0$ por cada $x$ y la integral $\int {\mathcal D}f(x) \,\Delta[f(x)]=1$ . Nótese que para las integrales funcionales (sobre los espacios infinitos de funciones), la medida de integración se denota ${\mathcal D}$ y no $d$ .
