Resultados numéricos para integrales con doble transformada de Fourier

Question

Me interesa calcular numéricamente la siguiente integral (es bastante inestable): $$ U(p,q)= \frac{2}{\pi} \frac{1}{p q} \int_0^{\infty} \sin(pr) \sin(qr) V(r) dr $$ $V(r)$ es alguna función con el comportamiento: $$ \lim_{r\to 0^+} V(r)=\infty\;\;\text{and}\;\;\lim_{r\to \infty} V(r)=0 $$ Y por supuesto tiene que ir a cero lo suficientemente rápido para que la integral converja, por ejemplo $$V(r)= \frac{\mathrm{e}^{-r}}{r}$$

De hecho, lo anterior $V(r)$ tiene una buena solución analítica para las pruebas: $$ \frac{1}{pq}\int_0^{\infty } \frac{e^{-r}}{r} \sin (p r) \sin (q r) \, dr=\frac{1}{4pq} \left[\ln \left((p+q)^2+1\right)-\ln \left((p-q)^2+1\right)\right] $$

En general $U(p,q)$ es inestable. Una cosa que he intentado para ayudar a este para grandes $p$ y $q$ es a WLOG deje $p>q$ y $b=\frac{q}{p}$ entonces bajo la transformación de la variable $x=pr$ que tenemos: $$ U(p,q)= \frac{2}{\pi} \frac{1}{p^{2}q} \int_0^{\infty}\sin{(x)}\sin{(bx)} V\left( \frac{x}{p} \right) dx $$

Esto ayuda a la estabilidad numérica, pero no es suficiente. Me sugirieron de pasada que utilizara una transformada rápida de Fourier, pero no estoy seguro de que eso sea realmente útil.

¿Qué técnicas puedo utilizar para que esta integral sea más estable numéricamente?

Answer 1

Si se puede calcular la transformada de Fourier de $V(|r|)$ entonces $U(p,q)$ puede expresarse de forma bastante sencilla en términos de ella: $$ \int_0^\infty \sin pr \sin qr V(r) dr = \int_0^\infty \frac{1}{2}\left[ \cos (p-q) r - \cos (p+q) r \right] V(r) dr = \\ = \frac{1}{2}\int_0^\infty \cos ((p-q) r) V(r) dr - \frac{1}{2}\int_0^\infty \cos ((p+q) r) V(r) dr = \\ = \frac{1}{4} \int_{-\infty}^\infty \cos ((p-q) r) V(|r|) dr - \frac{1}{4} \int_{-\infty}^\infty \cos ((p+q) r) V(|r|) dr. $$ Y así $$ U(p, q) = \frac{\hat V(p-q) - \hat V(p+q)}{2\pi p q} $$ donde $$ \hat V(s) = \int_{-\infty}^\infty V(r) e^{isr} dr. $$