Dos grupos no isomórficos que son imágenes epimórficas entre sí

Question

Dejemos que $G$ y $H$ sean dos grupos, estoy buscando un ejemplo tal que $G$ es una imagen epimórfica de $H$ y $H$ es una imagen epimórfica de $G$ (es decir, ambos son cocientes del otro grupo), pero no son isomorfos. Si son finitos, por supuesto que deben ser isomorfos, pero tengo curiosidad por saber si esto falla para grupos infinitos.

Answer 1

Tome $G=\prod_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ y $H=\mathbb{Z}/2 \times \prod_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{Z}$ . Entonces $G$ es una imagen epimórfica de $H$ (proyectando el $i$ coordenada de $H$ a la $(i-1)$ coordenada de $G$ y $H$ es una imagen epimórfica de $G$ enviando la primera coordenada a su proyección en $\mathbb{Z}/2$ y las otras coordenadas a sí mismas. Sin embargo, $G$ y $H$ no son isomorfas, ya que $G$ no contiene elementos de orden finito, mientras que $H$ lo hace.