Tengo este teorema con una parte de la prueba:
$\quad$ Dejemos que $V$ sea un espacio de Hilbert, $U$ un barrio abierto de $u\in V$ y que $\varphi\in C^2(U,\mathbf R)$ . Definir la implicidad del operador lineal $L:V\to V$ por $$(Lv,w)=\varphi''(u)(v,w).$$ Entonces $L$ es autoadjunta y vamos a identificar $L$ con $\varphi''(u)$ . Si $\varphi''(u)$ es un operador de Fredholm, $V$ es la suma ortogonal de $R(\varphi''(u))$ y $\ker(\varphi''(u))$ .
$\quad$ Supongamos ahora que $u$ es un punto crítico de $\varphi$ . El Índice Morse de $u$ se define como la suma de las dimensiones de los subespacios vectoriales de $V$ en el que $\varphi''(u)$ es negativa definida. El nulidad de $u$ se define como la dimensión de $\ker\varphi''(u)$ . Por último, el punto crítico $u$ se dirá que es no degenerado si $\varphi''(u)$ es invertible.Teorema $\bf 8.3.\,$ Dejemos que $U$ sea una vecindad abierta de $0$ en un espacio de Hilbert $V$ y que $\varphi\in C^2(U,\mathbf R)$ . Supongamos que $0$ es un punto crítico de $\varphi$ con nulidad positiva y que $L=\varphi''(0)$ es un operador de Fredholm, por lo que $V$ es la suma directa ortogonal de $\ker(L)$ y $R(L)$ . Sea $w+v$ sea la correspondiente descomposición de $u\in V$ . Entonces existe una vecindad abierta $A$ de $\,0$ en $V$ un vecindario abierto $B$ de $\,0$ en $\ker(L)$ un homeomorfismo local $h$ de $A$ en $U$ y una función $\hat\varphi\in C^2(B,\mathbf R)$ tal que $$h(0)=0,\quad\hat\varphi'(0)=0,\quad\hat\varphi''(0)=0$$ y $$\varphi(h(u))=(1/2)(Lv,v)+\hat\varphi(w)$$ en el dominio de $h$ .
Prueba. $1)$ Dejemos que $Q:V\to V$ sea la proyección ortogonal sobre $R(L)$ . Por el teorema de la función implícita, podemos encontrar $r_1>0$ y un $C^1$ -mapeo $$g:B(0,r_1)\cap\ker L\to R(L)$$ tal que $g(0)=0,$ $g'(0)=0$ y $$Q\nabla\varphi(w+g(w))=0.\tag{13}$$ Definamos $\hat\varphi$ en $B=B(0,r_1)\cap\ker L$ por $$\hat\varphi(w)=\varphi(w+g(w))$$ de modo que, por cálculo directo y $(13)$ , $$\nabla\hat\varphi(w)=(I-Q)\nabla\varphi(w+g(w))$$ y $$\hat\varphi''(w)=(I-Q)\varphi''(w+g(w))(Id+g'(w)).$$ En particular $$\nabla\hat\varphi(0)=(I-Q)\nabla\varphi(0)=0.$$
Y tengo esta pregunta:
por qué $\nabla\hat{\varphi}(w)=(I-Q) \varphi(w+g(w))$ ?
Por favor, ayúdame.
Gracias.
