He observado algunos errores de resultado inusuales al integrar numéricamente utilizando una TI-84 Plus CE. Esta respuesta explica que la TI-84 utiliza un sistema de 15 puntos Método de Gauss-Kronrod con un error máximo de $10^{-5}$ para realizar integrales numéricas.
La primera vez que me di cuenta de los errores fue al comparar diferentes métodos integrales para sólidos de revolución. Utilizando el llamado "método de la cáscara" La respuesta correcta la obtuve dentro de la precisión proporcionada. $$ \int_{1}^2 2\pi y [(\sin^{-1}(1-\frac{y}{2}))^2 - (\sqrt{2y}-2)) dy \approx 2.985917356 $$
Sin embargo, el "Método de la lavadora" para el mismo volumen tardó mucho más en integrarse y produjo un resultado incorrecto: $$ \int_{\sqrt{2}-2}^0\pi[(\frac{1}{2}(x+2)^2)^2-1^2]dx\ \ + \ \int_0^{\frac{\pi^2}{36}}\pi[(2-2\sin(\sqrt{x}))^2-1^2]dx\approx 2.985917088 $$ [Como referencia, el resultado exacto para ambos debería ser $$ \pi^3\frac{5}{36}+\pi^2\frac{7\sqrt{3}}{6}+\pi\frac{8\sqrt{2}-79}{10}\approx2.985917356 $$ que coincide con el resultado del "método shell" dentro de la precisión disponible de la calculadora].
El error absoluto entre la respuesta correcta y la incorrecta es $\approx2.68\times10^{-7}$ . Esto es bastante bueno y de hecho mejor que lo anunciado $10^{-5}$ límite en el error absoluto.
Sin embargo, me picó la curiosidad y logré aislar el error en el segundo cálculo a sólo el término con el $(2-2\sin(\sqrt{x}))^2$ en él. Haciendo una sustitución de variables se cambia la integral a $$ \int_0^{\frac{\pi}{6}}2\pi u(1-\sin(u))^2du $$ que en realidad soluciona la falta de precisión y alinea el resultado numérico con la respuesta correcta.
A partir de aquí, probé algunas integrales más de diversos tipos y descubrí que los radicales exóticos (es decir, las potencias fraccionarias negativas y las potencias de gran denominador) producían sistemáticamente errores notables, ¡y tardaban mucho más en hacerlo! - mientras que incluso las integrales trigonométricas e inversas complicadas no lo hacían. He aquí dos ejemplos interesantes:
$$ \int_0^{128} x^{\frac{2}{7}}dx \approx 398.2222228 $$
Sin embargo, la respuesta exacta de $398\frac{2}{9}$ se produce con una precisión de calculadora con la integral equivalente $$ \int_0^27x^8dx\approx398.2222222 $$ un error de $\approx6\times10^{-7}$ .
Además, la calculadora encuentra después de mucho trabajo $$ \int_0^4\frac{1}{\sqrt{x}}dx\approx 3.999994424 $$ que difiere de la respuesta exacta de $4$ por $\approx5.6\times10^-6$ .
Obviamente, la calculadora funciona como se anuncia y suprime el error absoluto por debajo de $10^{-5}$ Sin embargo, esto hace que se planteen preguntas:
¿Por qué al integrador numérico le cuesta tanto hacer integrales con radicales poco habituales? ¿Y por qué los resultados tienen errores mucho mayores que otros tipos de integrales? ¿Son las expresiones radicales más difíciles de integrar en general?
EDITAR : Inspirado por los comentarios, he investigado otras integrales en las que los límites inferiores no eran exactamente $0$ . En todos los casos (incluso para límites inferiores muy pequeños), la calculadora tuvo pocas dificultades para obtener el resultado exacto. Además, las integrales de $\ln(x)$ y de $\sqrt{x}$ y de $\sin^{-1}(x)$ de $0$ a $1$ mostraron el mismo tipo de errores. Esto sugiere que las dificultades con todos los ejemplos dados en el post principal provienen de que la pendiente no está definida en uno de sus límites.
Esto nos lleva ahora a una pregunta quizás más centrada: ¿Por qué es un problema para el integrador numérico?
