¿Son los complementos de las hipersuperficies afines no isomorfas necesariamente no isomorfos?

Question

Arreglar $n$ y que $H_1$ y $H_2$ sean dos hipersuperficies en ${\bf A}^n$ (no necesariamente liso o irreducible, pero lo supondremos reducido). Si los complementos $U_i = {\bf A}^n \setminus H_i$ son isomorfos como esquemas, ¿implica esto que el $H_i$ son isomorfos?

Preguntando a otras personas, la respuesta es sí a través de los argumentos de la característica de Euler cuando el $H_i$ son suaves, pero tengo en mente ejemplos singulares.

En cuanto al campo de tierra, los polinomios que tengo en mente están definidos sobre ${\bf Z}$ Así que elige el campo que más te guste. Aunque probablemente preferiría una respuesta para los números complejos.

Answer 1

Su pregunta aparece como el "Problema del complemento" en el artículo de Hanspeter Kraft Problemas difíciles en el espacio afín n y parece que, según ese artículo, el problema sigue abierto para $H_1, H_2$ irreducible. Incluso el caso de $n=2$ no es trivial. En este caso, el artículo menciona un resultado de Kraft y Vust que dice que las curvas $H_1$ y $H_2$ en $A^2$ son isomorfas si su género es $\ge 1$ .

En el caso de que $H_1$ y $H_2$ son reducibles sin embargo, sospecho que hay muchos contraejemplos. Es decir, tomar $H_1=Z(xy(x-y))$ y $H_2=Z(xy(y-1))$ los complementos de estas curvas son isomorfos.

EDIT: Un mejor ejemplo, debido a Vust:

Tome $C_1=Z(y^2-x^3)$ y $C_2=Z(y)$ y que $f:A^2\to A^2$ sea el mapa $f(x,y)=(xy,y)$ . Entonces $f^{-1}(C_1\cup C_2) = C_2\cup C$ donde $C$ es la curva $Z(x^3y-1)$ que es disjunta de $C_2$ . De ello se desprende que $f$ induce un isomorfismo $$A^2\setminus C_1\cup C_2\simeq A^2\setminus C\cup C_2.$$

Answer 2

El papel de Jeremy Blanc, "La correspondencia entre una curva plana y su complemento" (Crelle 2009) muestra que dos curvas planas irreducibles pueden tener complementos isomórficos en P^2 sin serlo. Yo miraría su argumento y vería si puedes arreglar que los complementos afines sean también isomorfos (si realmente te importa la distinción entre A^n y P^n aquí).