Me pregunto si hay una forma rápida de saber cuál es el valor esperado más alto: "Tirar 1 dado y sacar el cuadrado del número que salga o tirar 2 dados y multiplicarlos". Gracias.
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Dejemos que $\xi$ y $\eta$ son los valores de las dos tiradas. El valor esperado de elevar al cuadrado la primera tirada es $\operatorname{E}(\xi^2)$ y el valor esperado de la multiplicación de los dos valores es $\operatorname{E}(\xi\eta)$ . Como podemos suponer que las dos tiradas son iid, tenemos $$\operatorname{E}(\xi\eta)=\operatorname{E}(\xi)\operatorname{E}(\eta)=\operatorname{E}(\xi)^2$$
Como la diferencia entre estos dos valores esperados es igual a la varianza, $$\operatorname{Var}(\xi)=\operatorname{E}(\xi^2)-\operatorname{E}(\xi)^2$$ debe ser no negativo. Por lo tanto, tenemos $$\operatorname{E}(\xi^2)\ge\operatorname{E}(\xi)^2$$ por lo que el valor esperado de elevar al cuadrado el resultado de una tirada es mayor.
Rob Pratt
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No estoy seguro de que lo consideres más rápido. La primera probabilidad es $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}.$$ La segunda probabilidad es $$\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k\right)^2 = \left(\frac{1}{n}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{(n+1)^2}{4}.$$ El primero es mayor cuando $(2n+1)/6 > (n+1)/4$ Es decir, cuando $n > 1$ .
