Polinomio característico de una matriz con ceros en su diagonal

Question

Dejemos que $p(x)=x^n+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_1x+a_0=(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_n)$ sea un polinomio con coeficientes reales tal que cada $\lambda_i$ es real.

¿Existe siempre un real simétrico $n\times n$ matriz $M$ , que sólo contiene ceros en su diagonal principal tal que su polinomio característico es $p$ ?

Answer 1

Basta con mirar el $2 \times 2$ ya que si el $\lambda_i$ son conocidas, se empieza por la matriz diagonal y se opera sobre las submatrices. Escoge dos a lo largo de la diagonal que sean de signo contrario (esto siempre es posible ya que la traza es cero).

Una matriz ortogonal $\pmatrix{c & s \\ -s & c}$ se desea tal que:

$$\pmatrix{c & s \\ -s & c}\pmatrix{\lambda_0 & 0 \\ 0 & \lambda_1}\pmatrix{c & s \\ -s & c}^{-1}=\pmatrix{0 & * \\ * & \lambda_0 + \lambda_1}$$

donde $c^2 + s^2 =1$ . Esto es lo mismo que: \begin{align} \pmatrix{c & s \\ -s & c}\pmatrix{\lambda_0 & 0 \\ 0 & \lambda_1}\pmatrix{c & -s \\ s & c}&=\pmatrix{0 & * \\ * & \lambda_0 + \lambda_1} \\ \pmatrix{\lambda_0 c & \lambda_1 s \\ -\lambda_0 s & \lambda_1 c}\pmatrix{c & -s \\ s & c}&=\pmatrix{0 & * \\ * & \lambda_0 + \lambda_1} \\ \pmatrix{\lambda_0 c^2 + \lambda_1 s^2 & (\lambda_1 -\lambda_0) cs \\ (\lambda_1 -\lambda_0) cs & \lambda_1 c^2 + \lambda_0 s^2}&=\pmatrix{0 & * \\ * & \lambda_0 + \lambda_1} \\ \end{align}

Al tratarse de una similitud, sólo la ecuación $\lambda_0 c^2 + \lambda_1 s^2=0$ y el valor de la traza de $\lambda_0 + \lambda_1$ se producirá de forma natural. Dado que $\lambda_0$ y $\lambda_1$ son de signo contrario, se puede resolver con el uso de sólo valores reales para $c$ y $s$ .

Repite el procedimiento en las submatrices con cada par de valores diagonales distintos de cero (las diagonales fuera de las submatrices quedarán como $0$ valores). El resultado final de toda la matriz será cero a lo largo de la diagonal, ya que la traza es cero y todos los elementos de la diagonal se hacen cero.

Es posible realizar una técnica similar utilizando sólo el $a_i$ empezando por la matriz compañera, y encontrando una similitud simétrica. Es posible, aunque más complicado, hacer esto, pero entonces tampoco habría elementos cero a lo largo de las diagonales de la submatriz. También sería posible, aunque un poco más complicado, lidiar con esos elementos no nulos.

Answer 2

La respuesta es afirmativa. La construcción conceptual de esa matriz simétrica real de diagonal cero es bastante fácil. Comenzamos con $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ . Sea $Q$ sea una matriz real ortogonal con su última columna igual a $u=\frac{1}{\sqrt{n}}(1,\ldots,1)^T$ (por ejemplo, puede considerar el reflejo de los propietarios de la casa $Q=I-2vv^T/\|v\|^2$ , donde $v^T=u^T-(0,\ldots,0,1)$ ). Entonces $D\leftarrow Q^TDQ$ se convertiría en una matriz simétrica real cuya $(n,n)$ -ésima entrada es cero. Ahora, realice un procedimiento similar de forma recursiva en las submatrices principales de $D$ obtenemos la matriz deseada.