Dimensión de un submódulo cíclico de una representación de un grupo finito

Question

Dejemos que $\rho: G \to GL(V)$ sea una representación de grupo finito (complejo). ¿Cuál es la dimensión máxima de $span\{\rho_gv | g \in G\}$ sobre todo $v \in V$ ? Esta cantidad no es necesariamente el grado de $V$ Por ejemplo, si $V$ es la suma directa de dos subrepresentaciones isomórficas de 1 dimensión, entonces la dimensión máxima es 1.

Creo que esto se puede reformular como: dada una $\mathbb{C}G$ -¿Cuál es la mayor dimensión (del espacio vectorial) sobre $\mathbb{C}$ de un submódulo cíclico?

Lo que tengo hasta ahora: por la descomposición canónica, $V \cong W_1 \oplus W_2 \oplus ... \oplus W_r$ donde cada $W_i$ es isomorfo a $n_i$ copias de un submódulo irreducible $U_i$ con dimensión $d_i$ . Para $v \in V$ definir $\Phi = \sum_{g \in G}{\rho_gvv^*\rho_g^*}$ (* significa adjunto). Entonces la cantidad de dimensión en cuestión es igual a $rank(\Phi)$ . $\Phi$ es un $\mathbb{C}G$ -homomorfismo de módulo de $V$ en sí mismo. Por lo tanto, $\Phi$ mapas cada uno $W_i$ a sí mismo. Por lo tanto, si $v = w_1 + w_2 + ... + w_r$ es la descomposición de la suma directa de $v$ entonces la dimensión de $span\{\rho_g{v} | g \in G\} = \sum_{i = 1}^r{dim (span\{\rho_gw_i | g \in G\})}$ reduciendo así el problema a la situación en la que la representación en cuestión es isomorfa a las copias de un módulo irreducible.

Si este módulo irreducible tiene grado 1, entonces la dimensión máxima es 1. Pero para grado > 1, no estoy seguro. No me han enseñado formalmente la teoría de la representación, así que agradecería referencias así como una pista para este problema.

Answer 1

Su pregunta se refiere a la dimensión del cíclico $\mathbb{C}G$ -módulo generado por $v$ . Dicho módulo es obviamente isomorfo a un cociente de la representación regular izquierda $M=\mathbb{C}G$ (= el módulo cíclico libre generado por $1$ ), ya que existe un homomorfismo único $f:M\rightarrow \langle v\rangle$ determinado por $f(1)=v$ . A la inversa, cualquier cociente de este tipo es un módulo cíclico como imagen homomórfica de $M$ es generada por la imagen de $1$ .

Denotemos por $m(V,U_i)$ la multiplicidad de una representación irreducible $U_i$ como factor de composición de $V$ . Para cada $U_i$ sabemos que $m(M,U_i)=\dim U_i$ . Por lo tanto, la multiplicidad máxima de $U_i$ como factor de composición de un módulo cíclico es también igual a $\dim U_i$ . A la inversa (utilizando el teorema de Maschke), si un módulo $V$ satisface la desigualdad $m(V,U_i)\le \dim U_i$ para todas las representaciones irreducibles $U_i$ se puede escribir como un cociente de $M$ es decir, es un módulo cíclico.

Por lo tanto, la respuesta es que la dimensión máxima de un submódulo cíclico de un módulo dado $V$ es $$ \sum_i\min\{\dim U_i, m(V,U_i)\}\cdot\dim U_i. $$ La suma abarca las representaciones irreducibles de $G$ .