Conozco el significado del número de Lebesgue. Ahora, tengo que encontrar un número $a$ de manera que si $A \subset X$ y $diam(A) < a$ entonces $A$ estará contenida en $U_i$ . La métrica no está definida, así que no sé cómo proceder. Sé que diam( $A$ )= $a$ significa que $\sup\{d(x,y)\}=a$ donde $x,y \in A$ . Algo que me confunde es que el conjunto $(0,a)$ y $(a,2a)$ donde $a<\frac{1}{2}$ tienen el mismo diámetro . Si es así entonces no es posible cubrirlos usando la misma tapa supongo..
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Andy Jacobs
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Normalmente, el número de Lebesgue se define sólo para coberturas de espacios compactos.
Sería $0$ aquí; para ver esto, tome cualquier $\delta>0$ y $n > 1/\delta$ y luego tomar un conjunto de puntos $\{\frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\}$ que tiene un diámetro inferior a $\delta$ y no está contenida en ninguno de estos conjuntos.
La respuesta depende de la métrica. Supongamos que la métrica en $(0,1)$ es la métrica "habitual" ( $d(x,y) = \lvert x - y \rvert$ ). Sea $\lambda > 0$ y $r = \min(1, \lambda/2)$ . Entonces $(0,r)$ es un subconjunto de $(0,1)$ con diámetro $< \lambda$ pero no está contenida en ningún $U_n$ . Por lo tanto, no $\lambda > 0$ puede ser un número de Lebesgue.
Si utilizamos otra métrica, la respuesta puede ser diferente. He aquí un ejemplo. El mapa $$h :(0,1) \to (1,\infty), h(x) = 1/x$$ es un homeomorfismo. Por lo tanto, la métrica habitual en $(1,\infty)$ induce una métrica en $(0,1)$ que viene dado por $d(x,y) = \lvert h(x) - h(y) \rvert$ . Entonces cualquier $\lambda > 0$ es un número de Lebesgue (o, si se quiere expresar así, $\infty$ es un número de Lebesgue). Sea $A \subset (0,1)$ sea un conjunto que no esté contenido en ningún $U_n$ . Entonces podemos encontrar puntos $x_n \in A$ tal que $x_n \notin U_n$ es decir $´0 < x_n \le 1/n$ . Pero entonces para todos $n$ $$\text{diam}(A) \ge d(x_n,x_1) = \lvert 1/x_n - 1/x_1 \rvert \ge 1/x_n - 1/x_1 \ge n - 1/x_1$$ que muestra que $\text{diam}(A) = \infty$ .
