Cuestiones de integrabilidad de Lebesgue

Question

1. Si $f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ es integrable, quiero demostrar $\sum_{n \in \mathbb{N}} f(n^ax+cos(n))$ converge para a.e. $x \in \mathbb{R}$ y $a>1$

2. Quiero mostrar $\lim \limits_{t \rightarrow 1} \int |g(x)(f(x)-f(tx))| dx = 0$ dado $f \in L_1(\mathbb{R})$ y $f \in L_1(\mathbb{R})$ y $g \in L_{\infty}(\mathbb{R}) $ .

Intento: Puedo demostrar que $\lim \limits_{t \rightarrow 1} \int |g(x)(f(x)-f(tx))| dx \le ||g||_{\infty}\lim \limits_{t \rightarrow 1} \int |(f(x)-f(tx))| dx$ y si simplemente evalúo el límite, obtengo $||g||_{\infty} \int|f(x)-f(x))| dx = 0$ . ¿Es esto suficiente?

Answer 1

Para 1., utilice la transformación $t=n^ax+\cos n$ con la integral $\int |f(n^ax+\cos n)| dx = \frac{1}{n^a} \int |f|$ . Tonelli da $\int \sum_{n \in \mathbb{N}} |f(n^ax+\cos n)| dx =\sum_{n \in \mathbb{N}} \int |f(n^ax+\cos n)| dx = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{n^a} \int |f| < \infty$ . De ello se desprende que $ x \mapsto \sum_{n \in \mathbb{N}} |f(n^ax+\cos n)|$ es finito a.e., de lo que se deduce el resultado deseado.

Para la 2., ya ha observado que $\int |g(x)(f(x)-f(tx))| dx \le \|g\|_\infty \int |f(x)-f(tx)| dx$ . Sea $f_t(x) = f(tx)$ y, para terminar, hay que demostrar que el mapa $ t \mapsto f_t$ es continua en $t=1$ .

Por otra parte, hay que tener en cuenta que $\int f_t = \frac{1}{t} \int f$ .

Si $g \in C_c(\mathbb{R})$ (funciones continuas con soporte compacto), entonces un argumento de continuidad uniforme muestra que $\lim_{t \to 1}\|g - g_t\|_1 = 0$ . Desde $C_c(\mathbb{R})$ es denso en $L^1(\mathbb{R})$ , si $ \epsilon >0$ podemos encontrar $g \in C_c(\mathbb{R})$ tal que $\|f-g\|_1 < \frac{\epsilon}{3}$ . Entonces tenemos la estimación \begin{eqnarray} \|f-f_t\|_1 &\le& \|f-g\|_1 + \|g-g_t\|_1 + \|f_t-g_t\|_1\\ &=& (1+\frac{1}{t}) \|f-g\|_1 + \|g-g_t\|_1 \\ &\le& (1+\frac{1}{t}) \frac{\epsilon}{3} + \|g-g_t\|_1 \end{eqnarray} En consecuencia, podemos encontrar un $\delta>0$ de manera que si $|1-t| < \delta$ entonces $\|f-f_t\|_1 < \epsilon$ . Por lo tanto, $ t \mapsto f_t$ es continua en $t=1$ .