Prueba de Euclides modificada de los primos infinitos

Question

Q. Altere la prueba del número infinito de primos de Euclides para demostrar que hay infinitos números primos de la forma $6n-1$ donde n es un número entero.

mi intento,

Supongamos por contradicción que hay un número finito de primos, es decir, supongamos $p_1 = 6(1) -1$ , $p_2 = 6(2) - 1$ ... $p_n = 6n -1$ son todos primos

Si tomamos el producto de todos los primos $p_1...p_n$ terminaremos con $p_1...p_n = 6m - 1$ o $6n+1$ por lo que si el producto es $6m - 1$ dejar $N_1 = p_1....p_n - 6 = 6(m-1) - 1 = 6k - 1$ Por el teorema de la factorización de los primos, existe un factor primo q

$p_i$ no divide $N_1$ y $q \not = p_i$ por lo que q divide $N_1$ y es de la forma $6k-1$

si $p_1...p_n = 6m + 1$ dejar $N_2 = p_1...p_n - 2$ y utilizar un argumento similar

¿es este el enfoque correcto?

edit: pensándolo bien, no dejaría $N = 6p_1...p_n - 1$ ¿trabajo? Como no $p_i$ divide a N (ya que tiene un resto de -1) y cualquier divisor de N (q), tendrá la forma de $6n-1$ como $p_1...p_n$ es un número entero.

Answer 1

Tu idea de "segundas intenciones" es básicamente correcta, pero lo que tienes que decir es que no todos los factores primos de $N=6p_1\cdots p_n-1$ puede ser de la forma $6k+1$ (ya que el producto de tales primos sigue siendo de la forma $6k+1$ ). El número $N$ puede tener algunos divisores de la forma $6k+1$ . Por ejemplo $N=6\cdot5\cdot11-1=329=7\cdot47$ .