No entiendo bien cómo a partir de la tabla de Butcher puedo encontrar las ecuaciones necesarias para implementar el método, en particular quiero ser capaz de conocer las ecuaciones para el método de Radau de 4º y 5º orden. aquí se reporta la Tabla Radau .. ¿alguien puede ayudarme a descubrir las ecuaciones para implementar? gracias :)
Respuesta
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Funciona de forma similar a tu otra pregunta aquí .
Dejemos que $y'(t) = f(t,y(t))$ , $y(t_0)=y_0$ sea su problema de valor inicial. Establezca $u_0 = y_0$ . Entonces el $i+1$ -iteración de un método runge-kutta con $s$ Las etapas se definen como
$$ u_{i+1} = u_i + h \sum_{j=1}^{s} b_j \cdot f(t_i+c_j \cdot h,\, u^{(j)}_{i+1}) \\ u^{(j)}_{i+1} = u_i + h \sum_{k=1}^{s} a_{jk} \cdot f(t_i + c_k \cdot h,\, u^{(k)}_{i+1}) $$
donde
$$\begin{array}{c|ccc} c_1 & a_{11} & \cdots & a_{1s}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_s & a_{s1} & \cdots & a_{ss} \\ \hline & b_1 & \cdots & b_s \end{array} $$
es el retablo del carnicero dado. Para el quinto orden Radau IIA:
Sólo tiene que insertar el $b_1,\ldots,b_s$ y $c_1,\ldots,c_s$ en la primera ecuación y el $a_{jk}$ en la segunda ecuación. Utilizando $$ \begin{align} b_1 &= \tfrac49 - \tfrac{\sqrt{6}}{36}, \\ b_2 &= \tfrac49 + \tfrac{\sqrt{6}}{36}, \\ b_3 &= \tfrac19, \\ c_1 &= \tfrac25 - \tfrac{\sqrt{6}}{10}, \\ c_2 &= \tfrac25 + \tfrac{\sqrt{6}}{10}, \\ c_3 &= 1 \end{align} $$
rendimientos:
$$ \begin{align} u_{i+1} &= u_i + h \cdot \left( b_1 \cdot f(t_i+ c_1 h,\, u^{(1)}_{i+1}) + b_2 \cdot f(t_i+c_2 h,\, u^{(2)}_{i+1}) + b_3 \cdot f(t_i+c_3 h,\, u^{(3)}_{i+1}) \right) \\ &= u_i + h \cdot \left( (\tfrac49 - \tfrac{\sqrt{6}}{36}) \cdot f(t_i+ (\tfrac25 - \tfrac{\sqrt{6}}{10}) h,\, u^{(1)}_{i+1}) + (\tfrac49 + \tfrac{\sqrt{6}}{36}) \cdot f(t_i+(\tfrac25 + \tfrac{\sqrt{6}}{10}) h,\, u^{(2)}_{i+1}) + \tfrac19 \cdot f(t_i+1 h,\, u^{(3)}_{i+1}) \right) \end{align} $$ con $$ \begin{align} u^{(1)}_{i+1} &= u_i + h \cdot \left( a_{11} \cdot f(t_i + c_1 h,\, u^{(1)}_{i+1}) + a_{12} \cdot f(t_i + c_2 h,\, u^{(2)}_{i+1}) + a_{13} \cdot f(t_i + c_3 h,\, u^{(3)}_{i+1}) \right) \\ u^{(2)}_{i+1} &= u_i + h \cdot \left( a_{21} \cdot f(t_i + c_1 h,\, u^{(1)}_{i+1}) + a_{22} \cdot f(t_i + c_2 h,\, u^{(2)}_{i+1}) + a_{23} \cdot f(t_i + c_3 h,\, u^{(3)}_{i+1}) \right) \\ u^{(3)}_{i+1} &= u_i + h \cdot \left( a_{31} \cdot f(t_i + c_1 h,\, u^{(1)}_{i+1}) + a_{32} \cdot f(t_i + c_2 h,\, u^{(2)}_{i+1}) + a_{33} \cdot f(t_i + c_3 h,\, u^{(3)}_{i+1}) \right) \end{align} $$
Ahora lo único que queda por hacer es insertar el $a_{jk}$ y $c_1,\ldots,c_3$ del retablo del carnicero dado. Se puede leer desde el retablo del carnicero: $a_{11}=\tfrac{11}{45}-\tfrac{7\sqrt{6}}{360},\, a_{12}=\tfrac{37}{225}-\tfrac{169\sqrt{6}}{1800},\, a_{13}=-\tfrac{2}{225}+\tfrac{\sqrt{6}}{75},\, a_{21} = \tfrac{37}{225}+\tfrac{169\sqrt{6}}{1800},\, \ldots$ ¿Puedes seguir desde aquí?
