Prioridad conjugada cuando la prioridad es normal, aplicando el teorema de Bayes

Question

Así que $X_1,...,X_n$ forma una muestra aleatoria de una dist normal con media desconocida $µ$ y la varianza $^2$ . Así que tenemos la distribución a priori con media $0$ y la varianza $^2$ . Entonces tenemos que demostrar que si $n$ es grande, entonces la distribución posterior de $µ$ dado que $X_i=x_i(i=1,…,n)$ será aproximadamente una distribución normal con media $\bar{x_n}$ y la varianza $\sigma^2/n$ .

He encontrado soluciones en varios sitios, pero no entiendo algunas de ellas. Es decir, a partir del teorema de bayes, la posterior es proporcional al producto de la función a priori y la función de verosimilitud, porque el denominador en la fórmula sólo va a la constante con respecto a mu, así que sólo miramos la proporcionalidad. Además, una vez que se obtiene el producto, la constante en la parte delantera no es importante y también cae.

He encontrado preguntas y soluciones similares, pero no estoy seguro de cómo aplicarlas aquí: http://lausanne.isb-sib.ch/~darlene/gda/add/BayesConjugateNormal.pdf Estimador de Bayes de la distribución normal y a priori normal

No estaba seguro de por qué el $\tau$ se introdujo la notación para la varianza, y cómo expresar el argumento de que lo que obtenemos al final es nuestro $\bar{x_n}$ y la varianza $\sigma^2/n$ .

Answer 1

Supongo que su $\sigma^2$ es una constante dada. Tienes el modelo,

$$ \begin{aligned} X_1, \cdots, X_n | \mu &\sim Normal(\mu, \sigma^2) \\ \mu &\sim Normal(0, \sigma^2) \\ \therefore \ \ \mu | X_1, \cdots, X_n &\sim \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{1}{2\sigma^2} (x_i - \mu)^2 \right) \times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp (-\frac{1}{2\sigma^2} \mu^2) \\ &\propto \exp \left(-\frac{n+1}{2\sigma^2}(\mu-\frac{\bar{x}}{n+1})^2 \right) \\ &\sim Normal(\frac{\bar{x}}{n+1}, \sigma^2/(n+1)) \end{aligned} $$