¿Estaría bien decir que el homeomorfismo de los espacios topológicos es una relación de equivalencia?
Sé que no hay un "conjunto de todo el espacio topológico", pero como me encontré con esta frase en varios lugares, creo que puede ser hecho riguroso o es sólo una expresión que no debe ser tomada literalmente. ¿Qué opina usted?
Es una equivalencia en el clase (o categoría) de espacios topológicos.
Tienes razón en que la colección de todos los espacios topológicos es "demasiado grande" para ser un conjunto. Pero se puede hablar de relaciones de equivalencia en clases o categorías.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que isomorfismo es un mapa entre dos objetos que preserva la estructura. Cuanta más estructura, "menos" isomorfismos puedes tener. El isomorfismo es una relación de equivalencia: el mapa de identidad nos da reflexividad; el hecho de que la inversa de un isomorfismo sea también un isomorfismo nos da simetría; y al componer isomorfismos tenemos transitividad.
Esto significa que "localmente" el isomorfismo es una relación de equivalencia sobre un conjunto. ¿Qué significa eso localmente? Si tomas una colección de conjuntos de estructuras, entonces las clases de isomorfismo son clases de equivalencia que son conjuntos.
Ejemplo: Si tenemos dos conjuntos contables, sin ninguna estructura, entonces cualquier biyección es un isomorfismo de conjuntos. Sin embargo, si damos un ordenamiento podemos tener menos mapas, por último si insistimos en bien ordenado los conjuntos entonces hay un isomorfismo único (si es que existe para empezar).
Cuando decimos que $X$ es un espacio topológico, o mejor dicho $(X,\tau)$ es un espacio topológico dotamos al conjunto $X$ con alguna estructura. En este caso, una familia de subconjuntos de $X$ que tiene algunas propiedades.
Entonces, ¿qué es un isomorfismo entre dos espacios topológicos? En primer lugar, tiene que ser una biyección (como cualquier isomorfismo), pero tiene que preservar los conjuntos abiertos. Es un mapa abierto, así como un mapa continuo (ya que queremos que el mapa inverso también sea abierto).
Si es así, un isomorfismo entre espacios topológicos es exactamente un homeomorfismo.
Por supuesto, si la topología nos lo permite, podemos pedir más. Si la topología es métrica, entonces podemos pedir un mapa isométrico - que no sólo preserva los conjuntos abiertos sino también la distancia. Podemos pedir un homeomorfismo diferenciable o medible si la estructura topológica nos lo permite.
En cuanto al segundo punto, he aquí tres posibles soluciones:
En primer lugar, si estamos de acuerdo en que conjuntos de la misma cardinalidad pueden tener las mismas topologías, podemos elegir un representante para un conjunto de cada cardinalidad y considerar sólo las topologías definidas en este conjunto. Esto nos permite simplemente tomar el conjunto de todas las topologías definidas en $X$ que es un conjunto ya que es un subconjunto de $P(P(X))$ .
Por ejemplo, si queremos trabajar con espacios vectoriales reales de dimensión finita, en aras del argumento podemos suponer que el conjunto subyacente es siempre lo mismo. Es una trampa teórica establecida, ya que nos impide tener $\mathbb R\subseteq\mathbb R^2$ . Sin embargo, esto último ya es un abuso de la notación, ya que $\mathbb R^2$ es un conjunto de pares, mientras que $\mathbb R$ no lo es.
En segundo lugar, podemos utilizar el truco de Scott (llamado así por Dana Scott) que consiste en utilizar el axioma de las fundaciones (conocido como axioma de regularidad en algunos lugares) y definir las clases de equivalencia como establece de la siguiente manera:
$$[(X,\tau)] = \{(Y,\rho)\mid (Y,\rho)\cong(X,\tau)\land\operatorname{rank}(Y)\text{ is minimal}\}$$
Es decir, utilizamos el hecho de que a todo conjunto se le puede dar un rango, y la colección de conjuntos en un rango dado es efectivamente un conjunto. Ahora podemos tomar todos los espacios topológicos homeomorfos a $(X,\tau)$ cuyo rango es el menor posible.
Por último, podemos quedarnos con las clases (o pasar a una teoría de conjuntos que permita las clases, como Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel ). Las clases son objetos sintácticos. Se definen mediante una función, tal vez parametrizada. En este caso, la clase de equivalencia de los espacios topológicos homeomórficos a $(X,\tau)$ puede definirse mediante $(X,\tau)$ como parámetro.
Una solución inteligente, aunque limitada, es decir simplemente que una vez que se le da un set $\mathcal{X}$ de espacios topológicos, homeomorfismo entre espacios en ese conjunto es una relación de equivalencia.
Esto funciona en algunos contextos sencillos en los que puede ser similar a "elegir" un "conjunto universal" concreto $X$ al hacer algo de teoría de conjuntos básica con uniones, intersecciones y complementos/diferencias. Por ejemplo, se puede pensar en relaciones de equivalencia sobre elementos de $X = \mathbb{Z}$ sin preocuparse de construcciones como $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{Z}_n$ o $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ . En particular, creo que un estudiante podría encontrar su camino a través de un primer curso de topología de conjuntos de puntos utilizando este enfoque.
Sin embargo, en otros contextos, esta construcción es obviamente deficiente: un conjunto fijo $\mathcal{X}$ puede no tener o no puede tener ciertas propiedades de cierre deseadas. Por ejemplo, si se trabaja con la teoría de categorías, dicho conjunto no puede ser cerrado bajo productos infinitos, sumas infinitas, etc...
Considere también el cierre bajo homeomorfismos (que podría ser todo el punto, en esta situación). Esto hace que las clases entren inmediatamente en escena: consideremos la inclusión (de clase) $x \mapsto \{x\}$ . Esto demuestra que hay tantas topologías de un elemento como elementos, por lo que incluso una colección (cerrada por homeomorfismo) de espacios de un elemento no puede ser un conjunto. Por eso es tan útil elegir representantes de alguna manera, como se menciona en la respuesta anterior.
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