Una pregunta sobre los subgrupos bajos de un subgrupo normal

Question

$H$ subgrupo normal de un grupo $G$ con cardinalidad finita. $p$ dividir números primos $|H|$ . $P$ a $p$ -Silow subgrupo de $H$ ¿Cómo puedo probar eso entonces? $G=HN_G(P)$ où $N_G(P)$ es el normalizador de $P$ en $G$ ?

Answer 1

Si $g\in G$ entonces $gHg^{-1}=H$ y así $gPg^{-1}\subseteq H$ . Desde $gPg^{-1}$ es un $p$ -Sylow subgrupo de $H$ por los teoremas de Sylow sabemos que $gPg^{-1}$ es conjugado con $P$ en $H$ . Es decir, existe $h\in H$ tal que $hPh^{-1} = gPg^{-1}$ . Por lo tanto, $g^{-1}hPh^{-1}g = P$ Así que $h^{-1}g\in N_G(P)$ .