Digamos que quiero tomar la siguiente expectativa para $C$ una constante y una RV $\theta$ con densidad $p(\theta)$ .
$$E[\theta-C] = \int_{\theta}(\theta-C)p(\theta)d\theta$$
Ahora bien, dado $p(y|\theta)$ y una función $\phi(y)$ Me gustaría tomar la siguiente expectativa:
$$E[\theta-\phi(y)]$$
Tengo problemas para demostrarme a mí mismo lo siguiente:
$$E[\theta-\phi(y)] \ne \int_{\theta}(\theta-\phi(y))p(\theta)d\theta$$
Pero más bien creo que la solución correcta es:
$$E[\theta-\phi(y)] = \int_{y}\int_{\theta}(\theta-\phi(y))p(\theta|y)d\theta\ p(y)dy$$ $$=\int_{\theta}\int_{y}(\theta-\phi(y))\ p(\theta,y)dyd\theta$$ $$=E[E[(\theta-\phi(Y))|Y]]$$
Intuitivamente, creo que la última línea tiene sentido, tomando la media de $\theta -\phi(y)$ para un determinado $y$ y luego tomar la media de eso sobre todos los $y$ .
Pero todavía no estoy convencida de por qué no debería tomar la expectativa de tratar $\phi(y)$ como una constante.
¿Es necesario o suficiente hacer la expectativa iterada si $Y$ es una variable aleatoria? ¿O sólo es necesario cuando $Y$ depende de $\theta$ a través de $p(y|\theta)$ ?
¡Gracias por leer y por cualquier ayuda en la clarificación!
