Problemas para calcular la serie de Fourier de una función

Question

Calcular la serie de Fourier

$$ f(x) = \left\{\begin{aligned} & 7\sin(x), && 0 \le x \le \pi\\ & 0, && \pi \le x \le 2\pi \end{aligned} \right.$$

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Sé que cuando $f(x+L) = f(x)$ para todos los reales $x$ la expansión en serie de Fourier es

$$f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_n \cos\left(n \tfrac{2\pi}{L}x \right) + b_n\sin\left(n \dfrac{2\pi}{L}x \right)$$

où

$$a_n = \dfrac{2}{L}\int\limits_{x_0}^{x_0+L}f(x)\cos\left( n \tfrac{2\pi}{L} x \right) dx \qquad x_0 \in \mathbb{R}$$

y $$b_n = \dfrac{2}{L}\int\limits_{x_0}^{x_0+L}f(x)\sin\left( n \tfrac{2\pi}{L} x \right) dx \qquad x_0 \in \mathbb{R}$$

Pero si intentamos calcular $a_n$ obtenemos $a_n = \dfrac{7}{\pi}\int^{\pi}_0 \sin(x)\cos(nx) dx$ . Para $n \ge 1$ No entiendo cómo se calcula esta integral. Incluso si utilizo la integración por partes, sigo obteniendo una integral que no se puede resolver.

EDIT: Para ser sincero, ni siquiera estoy seguro de haber entendido bien esta parte. Se supone que tenemos $-L \le x \le L$ pero para este problema, no tenemos un $-L$ ? En cambio, tenemos $0 \le x \le 2\pi$ . ¿Qué está pasando aquí? (Esto fue corregido en las ecuaciones anteriores).

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Agradecería enormemente que la gente se tomara la molestia de explicar cómo se resuelve este problema.

Answer 1

Una pista: La serie de Fourier de una función $f$ en $[a,a+2\ell]$ con el período $T=2\ell$ es $$f(x) = \dfrac{a_0}{2} + \sum_{i = 1}^{\infty} a_n \cos\left( \dfrac{n\pi x}{\ell} \right) + b_n\sin\left( \dfrac{n\pi x}{\ell} \right)$$ où \begin{eqnarray} a_0 &=& \dfrac{1}{\ell}\int_a^{a+2\ell}f(x) dx \\ a_n &=& \dfrac{1}{\ell}\int_a^{a+2\ell}f(x)\cos\left( \dfrac{n\pi x}{\ell} \right) dx \\ b_n &=& \dfrac{1}{\ell}\int_a^{a+2\ell}f(x)\sin\left( \dfrac{n\pi x}{\ell} \right) dx \end{eqnarray}

Editar: Aquí $a=0$ y $\ell=\pi$ entonces \begin{eqnarray} a_0 &=& \dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi7\sin x\,dx\\ &=&\dfrac{7}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,dx\\ &=&\color{blue}{\dfrac{14}{\pi}}\\ a_n&=&\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi7\sin x\cos nx\,dx\\ &=&\dfrac{7}{2\pi}\left(-\dfrac{\cos(1-n)x}{1-n}-\dfrac{\cos(1+n)x}{1+n}\right)_0^\pi\\ &=&\color{blue}{\dfrac{7}{\pi}\dfrac{(-1)^n+1}{1-n^2}} \end{eqnarray} para $n\neq1$ y cuando $n=1$ $$a_1=\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi7\sin x\cos x\,dx=\dfrac{7}{2\pi}\int_0^\pi\sin2x\,dx=\color{blue}{0}$$ también \begin{eqnarray} b_n &=&\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi7\sin x\sin nx\,dx\\ &=&\dfrac{-7}{2\pi}\int_0^\pi\cos(1+n)x-\cos(1-n)x\,dx\\ &=&\dfrac{-7}{2\pi}\left(\dfrac{\sin(1+n)x}{1+n}-\dfrac{\sin(1-n)x}{1-n}\right)_0^\pi\\ &=&\color{blue}{0}~,~(n>1)\\ b_1&=&\dfrac{1}{\pi}\int_0^\pi7\sin x\sin x\,dx\\ &=&\dfrac{7}{2\pi}\int_0^\pi1-\cos2 x\,dx\\ &=&\color{blue}{\dfrac{7}{2}} \end{eqnarray} así $$\color{blue}{\boxed{f(x)=\dfrac{7}{\pi}+\dfrac{7}{2}\sin x+\dfrac{7}{\pi}\sum_{n=2}^\infty\dfrac{(-1)^n+1}{1-n^2}\cos nx}}$$ o $$\color{blue}{\boxed{f(x)=\dfrac{7}{\pi}+\dfrac{7}{2}\sin x-\dfrac{14}{\pi}\left(\dfrac{\cos 2x}{3}+\dfrac{\cos 4x}{15}+\dfrac{\cos 6x}{35}+\cdots\right)}}$$