Demuestra que un grupo con exponente 3 es abeliano.

Question

Que sea $G$ un grupo. ¿Es cierta la siguiente afirmación?

Si cada $x\in G, x\neq e=1$ tiene un orden como máximo de 3 (es decir $x^3=1$ ), entonces $G$ es abeliana.

Quería demostrar que $xy=yx\ \forall x,y\in G$ .

$$xy=x1y = x(xy)^3y=xxyxyxyy \neq xxxyxyyy=x^3yxy^3=1yx1=yx.$$

Así, he demostrado que el grupo con la siguiente propiedad no es abeliano.

Pero no estoy seguro de que mi prueba sea correcta.

Answer 1

Esta afirmación es falsa. Para un contraejemplo, considere el grupo de matrices triangulares superiores unipotentes con coeficientes en $\mathbf{F}_3$ (bajo multiplicación matricial): $$U(3, \mathbf{F}_3) = \left\{\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} : a, b, c \in \mathbf{F}_3\right\}.$$

Algunos detalles computacionales:

Escriba $[a, b, c]$ para el elemento $$\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$ del grupo $U(3, \mathbf{F}_3)$ . Entonces, la ley del grupo se puede escribir como $$[a_1, b_1, c_1] \cdot [a_2, b_2, c_2] = [a_1 + a_2, b_1 + a_1 c_2 + b_2, c_1 + c_2].$$ A partir de aquí, puedes comprobar rápidamente que cada elemento tiene orden $3$ en $U(3, \mathbf{F}_3)$ y que no es abeliana. Así, este grupo tiene exponente $3$ pero no es abeliana.