Dar una función uniformemente continua con respecto a una métrica y no con respecto a otra, mientras ambas inducen la misma topología

Question

Agradecería mucho un ejemplo a la pregunta anterior o algunas pistas para construir uno.

Dicha función no debería existir en los espacios vectoriales normados: Si las topologías inducidas por dos normas son iguales las normas son äquivalentes y viceversa.

Answer 1

Prueba con $X=(0,1)$ (el intervalo abierto), $f(x)=1/x$ y dos métricas sobre $X$ , $d_1(x,y)=\lvert\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\rvert$ et $d_2(x,y)=\lvert x-y\rvert$ .

$f(x)$ es uniformemente continua bajo $d_1$ para $\epsilon>0$ , elija $\delta = \epsilon$ entonces para cualquier $x,y$ tal que $d_1(x,y)<\delta$ $\lvert f(x)-f(y) \rvert = \lvert 1/x-1/y \rvert < \delta =\epsilon$ .

Claramente $f(x)$ no es uniformemente continua en $d_2$ .