¿Aplicaciones de Grothendieck-Riemann-Roch?

Question

Actualmente estoy intentando aprender un poco sobre Grothendieck-Riemann-Roch...

Para tratar de entenderlo mejor, estoy buscando ejemplos de buenas aplicaciones de GRR aplicadas a un morfismo propio $X \to Y$ donde $Y$ es no un punto. Ya conozco un buen número de buenas aplicaciones de HRR, es decir, GRR cuando $Y$ es un punto. He leído algunas de las secciones pertinentes del libro de Fulton sobre la teoría de la intersección, pero sólo he encontrado aplicaciones de la RH, aunque es muy posible que haya pasado algo por alto.

También me interesa ver ejemplos trabajados, explícitos y concretos, con clases explícitas de Chow/cohomología.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Consulte la sección 3E de Harris y Morrison, "Moduli of Curves". Hay una gran cantidad de ejemplos de aplicaciones de la GRR procedentes de la teoría de los módulos, en los que se aplica a la proyección desde la familia universal o alguna potencia fibrosa de la familia universal. La idea básica en estos casos es que tanto el espacio base como el espacio total son bestias bastante complicadas, pero las fibras de los morfismos suelen ser bastante manejables, ya que son sólo los artilugios que se intentan parametrizar.

Para más ejemplos en la misma línea, se puede leer el clásico "Towards an enumerative geometry of the moduli space of curves" de David Mumford.

Answer 2

Aquí hay cuatro ``aplicaciones'' del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch que conozco.

1. Espacio de módulos de las superficies de Enriques

Se sabe que el espacio de moduli grueso de las superficies de Enriques es cuasi-afín. Pappas dio una prueba de ello utilizando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch en:

http://arxiv.org/abs/math/0701546

Más concretamente, es el siguiente resultado que se muestra en el artículo anterior utilizando GRR.

Teorema. El haz de líneas $R^0 f_\ast (\mathcal{L}\otimes \mathcal{L})$ es un haz de líneas de torsión en $Y$ .

2. Computar con el mapa de multiplicación en una variedad abeliana

Dejemos que $X$ sea una variedad abeliana de dimensión $g$ . Lo siguiente se basa en el artículo

Alturas para haces de líneas en variedades aritméticas

por J. Jahnel. (Puedes encontrarlo fácilmente con Google).

Dejemos que $p:X\times X \longrightarrow X$ sea la proyección sobre la primera coordenada. Del mismo modo, dejemos que $q:X\times X\longrightarrow X$ sea la proyección sobre la segunda coordenada. Para cualquier haz de líneas $\mathcal{F}$ en $X$ definimos su Paquete de líneas Mumford en $X\times X$ , denotado por $\Lambda$ , como $$\Lambda := m^\ast \mathcal{F}\otimes (p^\ast \mathcal{F})^{-1} \otimes (q^\ast \mathcal{F})^{-1}.$$ El siguiente teorema es un caso especial del teorema 1.7 de Jahnel. Su demostración utiliza GRR y está contenida en la demostración de la Proposición 3.4.

Teorema. Para cualquier haz de líneas amplio $\mathcal{L}$ tenemos que $$(\det q_!(\Lambda\otimes p^\ast\mathcal{L}))^{-1} = \left(\det q_!(m^\ast\mathcal{L} \otimes (q^\ast \mathcal{L})^{-1})\right)^{-1}$$ es un haz de líneas amplio en $X$ .

3. La fórmula débil de Riemann-Hurwitz

Dejemos que $\pi:X\longrightarrow Y$ sea un morfismo finito de variedades lisas cuasi-proyectivas sobre un campo algebraicamente cerrado.

Entonces, el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch aplicado a $\pi$ y $\mathcal{O}_X$ da $$ch(\pi_\ast \mathcal{O}_X) = \pi_\ast( td(X/Y)).$$

En grado 0 esto da algo que todos sabemos: $c_0(\pi_\ast \mathcal{O}_X)$ es el rango de $\pi_\ast \mathcal{O}_X$ mientras que $$\pi_\ast (td(X/Y)_{0} = \pi_\ast (0) = \deg \pi.$$ Es decir, obtenemos que el rango del haz vectorial $\pi_\ast \mathcal{O}_X$ es igual a $\deg \pi$ .

En grado 1 da una versión débil del teorema de Riemann-Hurwitz. En concreto, muestra que $c_1(\pi_\ast \mathcal{O}_X) = \pi_\ast( td(X/Y)_{(1)})$ en el anillo de Chow de $Y$ (tensado con $\mathbf{Q}$ ). Llamo a esta versión débil porque realmente tiene una igualdad en el anillo de Chow de $X$ (tensado con $\mathbf{Q}$ ).

Debo decir que esta no es la imagen completa todavía. El divisor de ramificación aparece cuando se hace un cálculo local como en el capítulo 3.6 Prop. 13 del libro de Serre Campos locales .

En grado superior, se puede escribir lo que da la GRR pero no puedo dar una interpretación geométrica de esto. ¿Quizás alguien más pueda?

4. Alturas para cubiertas de superficies algebraicas en característica cero

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado de característica cero.

Fijar una curva lisa proyectiva conectada $C$ en $k$ y un morfismo proyectivo plano $h:X\longrightarrow C$ con $X$ conectado y regular tal que la fibra genérica $X_\eta$ es no singular. Sea $D\subset X$ sea un divisor normal simple de cruces. (Esto significa que sus componentes son no singulares y se encuentran transversalmente).

Ahora definimos el conjunto $Cov(C,X,h,D)$ como el conjunto de morfismos finitos $\pi:Y \longrightarrow X$ que surgen como la normalización de $X$ en el campo de funciones de algún morfismo etale finito $V \longrightarrow X-D$ (con $V$ conectado). Para cualquier elemento $\pi:Y \longrightarrow X$ de $Cov(C,X,h,D)$ tenemos que $\pi$ es plano finito y suryente y $Y$ es una superficie algebraica integral normal con singularidades racionales.

Puede definir un altura sobre $C$ en este conjunto y dar una buena fórmula para esta altura utilizando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch. Todo esto está contenido en lo siguiente

Teorema. Dejemos que $\pi:Y \longrightarrow X$ sea un elemento de $Cov(C,X,h,D)$ . Elija una resolución de singularidades $\rho:Y^\prime\longrightarrow Y$ y escribir $f=h\circ \pi \circ \rho$ . Entonces la primera clase de Chern $c_1(f_! \mathcal{O}_{Y^\prime})$ es igual a $$f_\ast(td(Y^\prime)_{(2)}) - h_\ast(td(X)_{(1)})td(C)_{(1)} \deg \pi - h_\ast(c_1(\pi_\ast \mathcal{O}_Y))td(C)_{(1)}$$ en el grupo de clase de $C$ (tensado con $\mathbf{Q}$ ). Definir el altura sobre $C$ de $\pi$ para ser $$ Height(\pi) = \deg c_1(f_! \mathcal{O}_{Y^\prime}).$$ Esta altura es independiente de la resolución $\rho$ .

Prueba. La fórmula para $c_1(f_! \mathcal{O}_{Y^\prime})$ se obtiene aplicando la GRR a $(f,\mathcal{O}_{Y^\prime})$ y $(h,\pi_\ast \mathcal{O}_Y)$ . El hecho de que la altura sea independiente de $Y^\prime$ se deduce de la fórmula y del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch. Para más detalles, véase la demostración del teorema 1.1 en http://arxiv.org/abs/0807.0184 .

Answer 3

Siempre que tengas una transorma de Fourier-Mukai, si quieres calcular el carácter de Chern de una imagen de una gavilla, necesitas GRR.Creo que puedes encontrar ejemplos en el libro de Huybrecht "Fourier-Muaki transforms in algebraic geometry".

Answer 4

EDITAR: Hm. Acabo de darme cuenta de que esta "respuesta" no responde en absoluto a la pregunta. Se trata de una aplicación de la dualidad de Grothendieck, no de la RG. Supongo que no estaba leyendo la pregunta con atención cuando escribí esto. Suspiro. Lo siento. Dado el número de votos a favor, me parece razonable dejarlo aquí, pero me disculpo por la posible confusión que haya podido causar con él.

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He aquí una prueba sencilla del criterio de Kempf para las singularidades racionales:

Teorema. (Kempf) Deje que $X$ sea una variedad normal sobre $\mathbb C$ . Entonces $X$ tiene singularidades racionales (es decir, para una resolución $\phi:\widetilde X\to X$ , $R^i\phi_*\mathcal O_{\widetilde X}=0$ para $i>0$ ) si y sólo si $X$ es Cohen-Macaulay y $\phi_*\omega_{\widetilde X}\simeq \omega_X$ .

Prueba. ( $RHom$ significa sheaf-RHom, $\omega^\cdot$ para el complejo dualizador, $n=\dim X$ ).

En primer lugar, suponga que $X$ tiene singularidades racionales. Entonces \begin{multline} \omega_X^\cdot\simeq RHom_X(\mathcal O_X,\omega_X^\cdot)\simeq RHom_X(R\phi_*\mathcal O_{\widetilde X},\omega_X^\cdot) \simeq_{\text{by Grothendieck duality}}\\\ \simeq R\phi_*RHom(\mathcal O_{\widetilde X}, \omega_{\widetilde X}^\cdot) \simeq R\phi_*\omega_{\widetilde X}[n]\simeq \phi_*\omega_{\widetilde X}[n] \end{multline} El último isomorfismo se deriva de la desaparición de Grauert-Riemenschneider. Los dos extremos del isomorfismo mostrado muestran que $\omega_X^\cdot$ sólo tiene una gavilla de cohomología distinta de cero y, por tanto, $X$ es Cohen-Macaulay y esa gavilla de cohomología no nula es $\phi_*\omega_{\widetilde X}\simeq \omega_X$ .

La otra dirección es similar: \begin{multline} \mathcal O_X\simeq RHom_X(\omega_X^\cdot,\omega_X^\cdot)\simeq RHom_X(R\phi_*\omega_{\widetilde X}^\cdot,\omega_X^\cdot) \simeq_{\text{by Grothendieck duality}}\\\ \simeq R\phi_*RHom(\omega_{\widetilde X}^\cdot, \omega_{\widetilde X}^\cdot) \simeq R\phi_*\mathcal O_{\widetilde X} \end{multline}

Editar: Un poco más de uso de G̶R̶R̶ Dualidad de Grothendieck (!) le da interesantes teoremas sobre las singularidades. Véase, por ejemplo aquí .

Answer 5

Tal vez el caso no trivial más fácil de considerar es cuando se tiene una cubierta doble $f \colon X \to Y$ de variedades proyectivas lisas. Tal doble cobertura está definida por un divisor suave $B$ en $Y$ que es $2$ -divisible en el grupo Picard de $Y$ y por la elección de una raíz cuadrada $L$ , a saber $L^2 =B$ . Entonces $$f_* \mathscr{O}_X=\mathscr{O}_Y \oplus L^{-1}.$$ Ahora toma un manojo de líneas $\mathscr{O}_X(D)$ en $X$ . Entonces $f_{*} \mathscr O_X(D)$ es un rango $2$ haz de vectores en $Y$ y sus clases de Chern pueden recuperarse en términos de $D$ y $L$ utilizando Grothendieck-Riemann-Roch. Creo que estos cálculos fueron realizados por primera vez por Schwarzenberger en el caso de superficies lisas, véase [ Paquetes vectoriales en superficies algebraicas y Paquetes vectoriales en el plano proyectivo , Proc. London Math. Soc. 11 (1961)].

Propuesta. Dejemos que $f \colon X \to Y$ y $L$ sea como la anterior y que $D$ sea un divisor en $X$ .

(1) La siguiente igualdad se mantiene en $\textrm{Pic} \, Y$ :

$$c_1 (f_* \mathscr{O}_X(D))= [f_* D]-L.$$

(2) La siguiente igualdad se mantiene en $H^4(Y, \, \mathbb{Z}[1/2])$ :

$$c_2 (f_* \mathscr{O}_X(D))= 1/2 ((f_* D)^2-f_*(D \cdot D)-(f_*D) \cdot L ).$$