Investigación matemática de grado

Question

Creo que este es el lugar adecuado para preguntar esto, así que me preguntaba si alguien podría aconsejarme sobre la investigación a nivel de licenciatura.

Recientemente me han aceptado en el Programa de becas McNair . Se trata de un programa preparatorio para los estudiantes que quieren acceder a la escuela de posgrado. Se espera que presente una propuesta de tema de investigación a mediados del semestre de primavera y que lo estudie durante el verano con un mentor.

Ya que actualmente estoy en el programa de Licenciatura en Matemáticas y quiero obtener mi Maestría después. Pensé que aunque mi tema puede ser en cualquier área, debería ser en matemáticas ya que es mi principal interés también.

En este momento soy junior y estoy tomando: Análisis real unidimensional, Introducción a los métodos numéricos y Álgebra abstracta. Busco con frecuencia en MathWorld y Wikipedia los temas que me interesan, aunque no me considero un estudiante brillante ni particularmente fuerte. También he empezado a hablar con los profesores sobre sus investigaciones.

No he conocido a ningún otro estudiante que haga investigación matemática de grado y mi sensación actual es que muchos o todos los problemas de las matemáticas están muy por encima de mi capacidad para investigarlos. Esto puede parecer un poco derrotista, pero parece que las matemáticas se están especializando progresivamente. Sé que hay muchas áreas que están surgiendo en la matemática aplicada, pero parece que también están utilizando una matemática muy superior.

Mi interés actual es el Álgebra Abstracta y la Teoría de Juegos y he estado considerando si hay posibilidades de aplicar la primera a la segunda.

Así que mis preguntas son: 1) ¿Son infundadas mis creencias sobre las posibilidades de la investigación de grado? 2) ¿Dónde puedo encontrar revistas de matemáticas en línea? 3) ¿Cómo puedo buscar lo que se ha explorado en las áreas de interés? ¿Debo buscar en las bibliografías de Wikipedia y MathWorld o buscar en la biblioteca para investigar?

Gracias espero que alguien pueda ayudar a aclarar y guiarme.

Answer 1

Tú dices:

" En este momento soy junior y estoy tomando: Análisis Real Unidimensional, Introducción a los Métodos Numéricos y Álgebra Abstracta ".

Basándome en esta información, creo que es un una completa pérdida de tiempo incluso para considerar seriamente la investigación en esta etapa; necesitas varios años más de estudio como mínimo. En este momento, todavía estás aprendiendo el lenguaje básico de las matemáticas. Es similar a, por ejemplo, un estudiante que quiere empezar a leer literatura clásica alemana, pero que sólo conoce 100 palabras prematuro, por decir algo. Las matemáticas que sabe ahora mismo son probablemente menos del 1% de las que necesitará. Incluso después de mi doctorado, siento que mis conocimientos son muy limitados en comparación con la mayoría de los buenos investigadores.

Pero, ¿realmente quiere decir "investigación", es decir, nueva, original, no trivial e interesante, y publicable en una revista de buena calidad, es decir, en la que sus profesores publicarían?

¿O se refiere a una especie de "investigación" o "proyecto"? No se requiere ni se espera que estos contengan nada nuevo u original. Sería muy útil, pero sólo por su interés y satisfacción personal.

La pregunta es: ¿qué esperas conseguir con ello? Si estás en una buena universidad, sus cursos te proporcionarán todo lo que necesitas.

Por favor, no se ofenda, y disculpe si me he formado una impresión equivocada, pero me parece ( de su declaración "He comenzado a hablar con los profesores sobre su investigación también" ) como si fueras el tipo de estudiante que irrita a los profesores, siempre molestándoles y haciéndoles preguntas sobre su propia investigación, pero careciendo de los conocimientos necesarios para entender las respuestas. ( Pero no es culpa tuya la falta de conocimientos, ¡para eso estás en la universidad! ) Como analogía, imagina que un niño de diez años, que no sabe más que sumar fracciones, te acosa constantemente para que le enseñes cálculo; mi respuesta (a no ser que estuviera de muy buen humor ese día) sería: " vuelve a la escuela y deja de molestarme, ¡por lo menos otros 3 años! " A menos que seas un estudiante excepcionalmente bueno y entusiasta, o que tus profesores sean mucho más pacientes que yo, puede que eso sea lo que estén pensando también, pero sean demasiado educados para decírtelo.

Pero es sólo mi opinión, no te fíes de mi palabra; ¿por qué no les preguntas directamente si eso es lo que piensan?

Answer 2

Metahomínidos,

Yo mismo soy un estudiante que hace dos años se encontraba en una situación similar a la que tú tienes ahora. Como estudiante de segundo año (ahora estoy en el último), quería hacer algún tipo de investigación pero no había tomado muchos cursos. En ese momento sólo estaba cursando análisis real y álgebra abstracta. Sin embargo, pregunté en el departamento de matemáticas por oportunidades de investigación en álgebra y teoría de juegos (sí, ¡incluso mis intereses eran similares!) y un profesor me recomendó a otro que tenía justo lo que yo buscaba: un enfoque de la teoría de juegos combinatoria usando álgebra (y un poco de geometría). He estado trabajando en este tema con él desde el verano siguiente a mi segundo año. El verano pasado, participé en una REU de matemáticas con un puñado de otros estudiantes. La investigación en la URE era más independiente, y los estudiantes hacían prácticamente todo el trabajo, mientras que los mentores servían más de caja de resonancia que de co-investigadores. Estas son las diferencias que he encontrado entre las dos experiencias de investigación:

Investigación con el profesor

• Dado que los problemas en los que estoy trabajando también son de interés directo para mi profesor, los temas que tengo que aprender para siquiera empezar a abordar la investigación tienden a ser más avanzados, por lo que acabo aprendiendo mucha teoría interesante (mi investigación me ha llevado al álgebra combinatoria conmutativa y a la cohomología local)

• Una vez más, como el profesor está trabajando conmigo en esto, paso mucho tiempo hablando con él, intercambiando ideas, y esto crea una relación muy fuerte entre el mentor y el estudiante que creo que es muy beneficiosa. Mi mentor me aconseja no sólo sobre cómo hacer matemáticas, sino también sobre cómo solicitar plaza en las escuelas de posgrado, escribir buenos artículos y resúmenes, dar charlas y presentaciones, etc.

REU

• Como se esperaba que los estudiantes trabajaran de forma independiente del profesor, me vi arrojado a lo más profundo. Fueron semanas de lectura y reflexión intensivas. Aunque el mentor me ayudaba a asegurarme de que estaba cuerdo permitiéndome rebotar ideas con él, yo seguía siendo responsable de todo el pensamiento original y la resolución de problemas. Los beneficios de esto son absurdamente grandes: mis habilidades para resolver problemas han mejorado mucho y ahora me resulta mucho más fácil seguir las clases y hacer los problemas de los deberes. De hecho, las clases de matemáticas no me parecen nada ahora que he investigado por mi cuenta.

• Teníamos libertad para trabajar con otros estudiantes, y colaboré con algunos de ellos, lo que me parece una experiencia inestimable. Hablando con estos estudiantes todos los días, aprendí diferentes formas de pensar sobre las cosas, y diferentes enfoques para resolver problemas. Por no hablar de que hice unos cuantos amigos muy buenos con los que sigo manteniendo un estrecho contacto y hablando de matemáticas.

• Conseguí hacer algún trabajo original no trivial (aunque no diría que los problemas que resolví eran importantes) y escribí algún material publicable. Sin embargo, esto no tiene por qué ocurrir. La cuestión es adquirir experiencia.

La conclusión es la siguiente: si tienes ganas de investigar, pregunta por los profesores que buscan estudiantes universitarios motivados. Asegúrate de que sepan que estás motivado y dispuesto a aprender y trabajar duro. Creo que es una experiencia muy valiosa estar expuesto a la investigación matemática real, saber qué se siente al atacar un problema que nadie ha descifrado todavía. Es completamente diferente a los trabajos de curso. Nunca me consideré especialmente talentoso en matemáticas, pero con los años me he dado cuenta de que ser bueno en matemáticas tiene mucho más que ver con la práctica y la experiencia que con un talento "natural". También recomiendo encarecidamente una de las URE patrocinadas por la NSF, ya que los mentores suelen ser muy hábiles a la hora de elegir problemas que estén a un nivel apropiado para los estudiantes de grado. Espero que esto haya servido de ayuda.

Answer 3

Lo siguiente podría ser más apropiado como un comentario a la respuesta de sleepless in beantown en lugar de una respuesta, pero por alguna razón no puedo comentar.

El siguiente sitio web de la AMS contiene numerosos enlaces a programas de Experiencia de Investigación para Estudiantes de Grado (REU)

http://www.ams.org/programs/students/undergrad/emp-reu

Si he entendido bien, estos programas REU están financiados por la NSF para ofrecer a los estudiantes universitarios (no necesariamente de la institución que acoge el programa) la oportunidad de hacer investigación, bajo supervisión, durante el verano. (Ya que se ha debatido lo que debe significar "investigación", añado que aquí "investigación" significa, o al menos puede significar [y no sólo en raras ocasiones], algo que al final se publica en revistas de investigación matemática bien establecidas).

Además, existe una revista de reciente creación, Involve, dedicada específicamente a "mostrar y fomentar la investigación matemática de alta calidad en la que participen estudiantes (de todos los niveles)"

http://pjm.math.berkeley.edu/involve/about/journal/about.html

Answer 4

El sitio web sobre el programa McNair Graduate Opportunity no da ninguna indicación de que los estudiantes de matemáticas estuvieran en mente, y un rápido estudio de los temas de algunos estudiantes anteriores no mostró ninguno en matemáticas. No creo que el programa haya sido diseñado para estudiantes de matemáticas o para la forma en que se realiza la investigación en matemáticas, ni siquiera la investigación en matemáticas de grado.

Las matemáticas tienen pocos grupos de investigación, técnicos de laboratorio o lavadores de botellas. Normalmente las matemáticas se hacen con una o dos personas involucradas. En otras áreas, puedes aprender a hacer algunas pruebas, y recoger datos, y analizarlos con la ayuda de un asesor. Tienes muchas posibilidades de conseguir algo, y mientras tanto puedes intentar aprender cómo encaja tu trabajo en un panorama más amplio. La mayoría de los proyectos matemáticos son más arriesgados. Se necesita mucho trabajo como asesor para crear un proyecto abordable por un estudiante de matemáticas por encima de la media que tenga una buena oportunidad de producir nuevos resultados que el estudiante pueda redactar. Gran parte de las matemáticas no implican programación, pero muchos proyectos diseñados para obtener resultados a corto plazo son ejercicios de programación que pueden dar una imagen distorsionada de las matemáticas.

Esto no quiere decir que la investigación universitaria no merezca la pena. Es una forma de ver que las matemáticas están vivas y son apasionantes, lo que puede ser difícil de ver desde los cursos. Yo estuve a punto de hacer algo no trivial cuando era estudiante, y un estudiante que supervisé hizo un buen trabajo publicable y pude escribir una buena carta de recomendación para él después. Sin embargo, los estudiantes necesitan un apoyo que quizá no se les proporcione en un programa que no está diseñado para licenciados en matemáticas. Necesitas un asesor que se esfuerce mucho (incluso en la elección del tema) más allá de lo que se necesita en otras áreas. Debe ser consciente de que el fracaso en la resolución del problema no suele ser una sorpresa, y que puede estar muy perjudicado con sólo un año de cursos sólidos de matemáticas.

Creo que deberías buscar alternativas como las Experiencias de Investigación Matemática para Estudiantes de Grado (REUs) o crear un curso de lectura en el que el objetivo no sea producir una nueva investigación, sino entender algún resultado o artículo reciente, quizás para crear una exposición más accesible de ese tema.

Answer 5

Creo que cuanto antes se empiece a investigar, mejor, aunque sea una investigación en geometría plana.

Dirigí algunas URE y fue muy divertido; el único problema es que es difícil hacer algo significativo en 8 semanas. Estoy seguro de que muchos estudiantes universitarios estadounidenses pueden producir un trabajo publicable tras centrarse en un problema durante 1 o 2 años.

En el lugar donde fui a la universidad (Novosibirk, Rusia, mediados de los 80) los estudiantes pasaban por álgebra abstracta y análisis real en los dos primeros años y los mejores de ellos podían hacer trabajos no triviales en el tercer año. Bastante gente iba a seminarios de investigación en el 3er y 4to año, lo que tenían que hacer ya que se esperaba una tesis (de maestría) con investigación original al final del 5to año. Como sucede con muchos estudiantes, esta tesis era en gran medida expositiva, pero los que más tarde se convirtieron en matemáticos profesionales solían conseguir algo publicable en el 5º año. Mi propia investigación en el 4º año no llegó a ninguna parte, pero en el 5º año demostré algo de lo que no me avergüenzo.