Dejemos que $T: \mathbb R^{2k} \to \mathbb R^{2k}$ sea una transformación lineal biyectiva. Definimos un conjunto \begin{align*} S = \{ (v_1, \dots, v_k) \subset \mathbb R^{2k}: (v_1, \dots, v_k, Tv_1, \dots, Tv_k) \text{ is a basis for $\mathbb R^{2k}$ } \}. \end{align*} ¿Es posible caracterizar el conjunto $S$ ? En particular, la propiedad topológica, como la conectividad?
Respuesta
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Por esta construcción podemos identificar el $k$ subespacios dimensionales de $\Bbb R^k$ con las correspondientes proyecciones ortogonales, es decir, las simétricas $2k\times 2k$ matrices que satisfacen $X^2 = X$ y $\operatorname{tr}(X) = k$ . Un conjunto $B = (v_1,\dots,v_k)$ estará contenida en $S$ si y sólo si el subespacio $U$ abarcados por $B$ satisface $$ U \cap T(U) = \{0\} $$ Esto equivale a su vez a la afirmación de que la proyección $X$ en $U$ satisface $$ XTX = 0 $$ Por lo tanto, si quiere caracterizar el espacio de $k$ -subespacios dimensionales de $V$ satisfaciendo $V = U \oplus T(U)$ entonces se podría identificar este conjunto con el conjunto de matrices de proyección $X$ dado por $$ \{X \in \Bbb R^{2k \times 2k} : X = X^T, X = X^2, \operatorname{tr}(X) = k, XTX = 0\} $$
