Sobre la definición de la codimensión de la variedad proyectiva en $\mathbb{P}^{n-1}$

Question

Me estoy confundiendo con la definición de codimensión de la variedad proyectiva en $\mathbb{P}^{n-1}$ . Como no he podido encontrar la respuesta buscando en internet, esperaba que alguien pudiera aclarar si tengo la idea correcta.

Dejemos que $X \subseteq \mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{C}}$ sea una variedad proyectiva. Entonces es la codimensión de $X$ :

( $n - $ dim $X$ ) o $(n-1-$ dim $X)$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Si $X$ es una subvariedad de una variedad $Y$ entonces el codimensión de $X$ en $Y$ es $$ \DeclareMathOperator{codim}{codim}\codim_YX=\dim Y-\dim X $$ Ahora, uno puede probar que $\dim \Bbb P^d=d$ . Por lo tanto, $$ \codim_{\Bbb P^{n-1}}X=\dim\Bbb P^{n-1}-\dim X=n-1-\dim X $$ Es decir, su segunda ecuación propuesta es correcta.